Verifique a simetria da função na região de integração e utilize-a para calcular a integral dupla.
\iint_{R}\left(1+x^{2} \operatorname{sen} y+y^{2} \operatorname{sen} x\right) d A, R=\{(x, y) ;-\pi \leq x \leq \pi,-\pi \leq y \leq \pi\}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \iint_{R}\bigl(1 + x^{2}\sin y + y^{2}\sin x\bigr)\,dA,
onde
R=\{(x,y)\mid -\pi\le x\le\pi,\;- \pi\le y\le\pi\}.
O conteúdo aqui é integral dupla sobre região retangular e vamos usar a simetria de funções pares e ímpares (sin é ímpar, x^2 e y^2 são pares) junto com a linearidade da integral.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para decompor
I = \iint_{R}1\,dA \;+\;\iint_{R}x^{2}\sin y\,dA\;+\;\iint_{R}y^{2}\sin x\,dA.

Passo 3

Calculemos a primeira parte:
\iint_{R}1\,dA=\text{área}(R)=(2\pi)\times(2\pi)=4\pi^{2}.á

Passo 4

Para a segunda parte, separamos as variáveis:
\iint_{R}x^{2}\sin y\,dA =\Bigl(\int_{-\pi}^{\pi}x^{2}dx\Bigr)\Bigl(\int_{-\pi}^{\pi}\sin y\,dy\Bigr).
Como \sin y é função ímpar em [-\,\pi,\pi],
\int_{-\pi}^{\pi}\sin y\,dy=0,
logo toda essa parcela vale zero.

Passo 5

Analogamente, para a terceira parte:
\iint_{R}y^{2}\sin x\,dA =\Bigl(\int_{-\pi}^{\pi}y^{2}dy\Bigr)\Bigl(\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\,dx\Bigr).
E como \sin x é ímpar em [-\,\pi,\pi],
\int_{-\pi}^{\pi}\sin x\,dx=0,
portanto essa parcela também é zero.

Resposta

I = 4\pi^{2}.

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