Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.
O sólido limitado pelo paraboloide cilíndrico y=x^{2} e pelos planos z=3 y e z=2+y.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado lateralmente pelo paraboloide cilíndrico y = x^2 e verticalmente pelos planos
z = 3y
e
z = 2 + y.
Isso é um problema de cálculo de volume por integração dupla, subtraindo o volume sob o plano inferior do volume sob o plano superior.

Passo 2

Precisamos primeiro encontrar onde os dois planos se intersectam:
3y = 2 + y \quad\Longrightarrow\quad 2y = 2 \quad\Longrightarrow\quad y = 1.
Isso nos diz que, para y\le1, temos 3y \le 2+y, e para y>1 a ordem inverte. Mas o sólido é fechado apenas até a curva de interseção, logo y varia de um valor mínimo até 1.

Passo 3

Na projeção no plano xy, o sólido está entre a parábola y = x^2 (lado “menor” em y) e a reta horizontal y = 1 (onde as duas faces em z se tocam). Assim o domínio de integração é
D = \bigl\{(x,y)\mid x^2 \le y \le 1\bigr\}.

Passo 4

Para cada (x,y)\in D, z vai de z_{\rm inf}=3y até z_{\rm sup}=2+y. Portanto
V = \iint_{D}\bigl[(2+y) - (3y)\bigr]\,dA = \iint_{D} (2 - 2y)\,dA.
Em coordenadas cartesianas:
V = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} (2 - 2y)\,dx\,dy.

Passo 5

Calcule a integral em x:
\int_{x=-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} (2 - 2y)\,dx = (2 - 2y)\,\bigl[\,x\bigr]_{-\sqrt{y}}^{\sqrt{y}} = (2 - 2y)\cdot\bigl(2\sqrt{y}\bigr) = 4\sqrt{y}\;-\;4y\sqrt{y}.
Logo
V = \int_{0}^{1}\bigl(4y^{1/2} - 4y^{3/2}\bigr)\,dy.

Passo 6

Agora integramos em y:
\int_{0}^{1}4y^{1/2}\,dy =4\cdot\frac{2}{3}y^{3/2}\Big|_{0}^{1} =\frac{8}{3}, \quad \int_{0}^{1}4y^{3/2}\,dy =4\cdot\frac{2}{5}y^{5/2}\Big|_{0}^{1} =\frac{8}{5}.
Subtraindo,
V = \frac{8}{3} - \frac{8}{5} = 8\Bigl(\frac{5-3}{15}\Bigr) = \frac{16}{15}.

Resposta

\displaystyle V = \frac{16}{15}.

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