Determine o volume do sólido por subtração de dois volumes.
O sólido limitado pelo paraboloide cilíndrico
e pelos planos
e
.
O sólido limitado pelo paraboloide cilíndrico
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado lateralmente pelo paraboloide cilíndrico
e verticalmente pelos planos
e
Isso é um problema de cálculo de volume por integração dupla, subtraindo o volume sob o plano inferior do volume sob o plano superior.
Passo 2
Precisamos primeiro encontrar onde os dois planos se intersectam:
Isso nos diz que, para
, temos
, e para
a ordem inverte. Mas o sólido é fechado apenas até a curva de interseção, logo
varia de um valor mínimo até
.
Passo 3
Na projeção no plano
, o sólido está entre a parábola
(lado “menor” em
) e a reta horizontal
(onde as duas faces em
se tocam). Assim o domínio de integração é
Passo 4
Para cada
,
vai de
até
. Portanto
Em coordenadas cartesianas:
Passo 5
Calcule a integral em
:
Logo
Passo 6
Agora integramos em
:
Subtraindo,