Dê as soluções das equações diferenciais de 1^{\underline{a}} ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
(e) (x+3 y)-x \frac{d y}{d x}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
(x+3y)-x\frac{dy}{dx}=0
O conteúdo aqui é EDO linear de primeira ordem. Vamos reescrever na forma padrão
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)
e usar fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo
(x+3y)-x\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; x\frac{dy}{dx}=x+3y \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx}-\frac{3}{x}\,y=1.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int -\tfrac{3}{x}\,dx\Bigr) =\exp\bigl(-3\ln|x|\bigr) =|x|^{-3}.
Como basta um intervalo em que x não muda de sinal, podemos usar \mu(x)=x^{-3} em cada intervalo.

Passo 4

Multiplicando a equação por x^{-3} obtemos
x^{-3}\frac{dy}{dx}-3x^{-4}y =\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}y\bigr) = x^{-3}\cdot1.
Integrando ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}y\bigr)\,dx =\int x^{-3}\,dx \;\Longrightarrow\; x^{-3}y =\frac{x^{-2}}{-2}+C =-\frac{1}{2}x^{-2}+C.

Passo 5

Isolando y:
y =x^{3}\Bigl(-\tfrac12x^{-2}+C\Bigr) =-\frac{x}{2}+Cx^3.
Essa é a solução geral, válida em qualquer intervalo em que x\neq0.

Resposta

A família de soluções é
y(x)=-\frac{x}{2}+C\,x^{3},
com domínio máximo em cada intervalo onde x>0 ou onde x<0.

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