Dê as soluções das equações diferenciais de 1^{\underline{a}} ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
(f) y^{\prime}=2 y+e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
y' = 2y + e^{x}
Este é um caso de equação linear não homogênea na forma
y' - 2y = e^{x}.
Vamos usar o método do fator integrante para encontrar a solução geral e depois discutir o domínio máximo.

Passo 2

Escrevemos em forma padrão
y' - 2y = e^{x}.
O fator integrante \mu(x) satisfaz
\mu(x) = e^{\int -2\,dx} = e^{-2x}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por \mu(x)=e^{-2x}, obtendo
e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = e^{-2x}e^{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\bigl(e^{-2x}y\bigr) = e^{-x}.
Agora integramos em relação a x:
e^{-2x}y = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, multiplicamos por e^{2x}:
y = e^{2x}\bigl(-e^{-x} + C\bigr) = -e^{x} + Ce^{2x}.
Portanto, a solução geral é
y(x) = Ce^{2x} - e^{x}.

Passo 5

As funções envolvidas e^{2x} e e^{x} são contínuas para todo x\in\mathbb{R}. Logo, o domínio máximo da solução geral é
(-\infty,\infty).

Resposta

A solução geral é
y(x) = Ce^{2x} - e^{x},
com C\in\mathbb{R} e domínio máximo x\in(-\infty,\infty).

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