Dê as soluções das equações diferenciais de 1^{\underline{a}} ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
(c) y y^{\prime}=x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y\,y' = x
e pede a solução geral e seus domínios máximos. Reconhecemos que é uma equação de variáveis separáveis, pois podemos escrever os termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
y\,\frac{dy}{dx} = x
de modo que
y\,dy = x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int x\,dx
o que dá
\frac{y^2}{2} = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Multiplicando por 2 e isolando y, obtemos
y^2 = x^2 + K,
com K=2C. Portanto a solução geral é
y(x) = \pm\sqrt{x^2 + K},
onde K\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para cada valor de K escolhemos um ramo contínuo + ou - de modo a garantir y diferenciável. O domínio máximo depende de K:
– Se K>0, então x^2+K>0 para todo x\in\mathbb{R}, logo o domínio é \mathbb{R}.
– Se K=0, então y=\pm\sqrt{x^2}=\pm|x|. Os ramos diferenciáveis são y=x ou y=-x, cada um com domínio \mathbb{R}.
– Se K<0, escrevemos K=-a^2 com a>0. Então
y(x)=\pm\sqrt{x^2 - a^2},
e para manter o radical real precisamos x^2\ge a^2, isto é x\in(-\infty,-a] ou x\in[a,\infty). Como buscamos domínios abertos onde a solução é diferenciável, tomamos cada ramo em
(-\infty,-a)\quad\text{ou}\quad(a,\infty).

Resposta

A solução geral é
y(x)=\pm\sqrt{x^2+K},\quad K\in\mathbb{R},
com domínios máximos dados por:
• Para K>0: x\in\mathbb{R}.
• Para K=0: y=x ou y=-x, domínio x\in\mathbb{R}.
• Para K<0 (escrevendo K=-a^2, a>0):
y(x)=\pm\sqrt{x^2 - a^2},\quad x\in(-\infty,-a)\\ \text{ou}\\ (a,\infty).

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