Dê as soluções das equações diferenciais de
ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral e seus domínios máximos. Reconhecemos que é uma equação de variáveis separáveis, pois podemos escrever os termos em
de um lado e em
do outro.
Passo 2
Separamos as variáveis escrevendo
de modo que
Passo 3
Integramos ambos os lados:
o que dá
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Multiplicando por 2 e isolando
, obtemos
com
. Portanto a solução geral é
onde
.
Passo 5
Para cada valor de
escolhemos um ramo contínuo
ou
de modo a garantir
diferenciável. O domínio máximo depende de
:
– Se , então
para todo
, logo o domínio é
.
– Se , então
. Os ramos diferenciáveis são
ou
, cada um com domínio
.
– Se , escrevemos
com
. Então
– Se
– Se
– Se
e para manter o radical real precisamos
, isto é
ou
. Como buscamos domínios abertos onde a solução é diferenciável, tomamos cada ramo em
Resposta
A solução geral é
com domínios máximos dados por:
• Para :
.
• Para :
ou
, domínio
.
• Para (escrevendo
,
):
• Para
• Para
• Para