Dê as soluções das equações diferenciais de 1^{\underline{a}} ordem abaixo, com seus domínios (máximos):
y^{\prime}=2 y+e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = 2y + e^{x}
Esta é uma equação linear não homogênea do tipo
y' - 2y = e^{x}.
Para solucioná-la, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) definindo
\mu(x) = \exp\biggl(\int -2\,dx\biggr) = \exp(-2x) = e^{-2x}.
Multiplicamos a equação original por \mu(x):
e^{-2x}y' - 2e^{-2x}y = e^{-2x}e^{x} = e^{-x}.
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada de y\,e^{-2x}.

Passo 3

Reescrevendo, temos
\frac{d}{dx}\bigl(y\,e^{-2x}\bigr) = e^{-x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
y\,e^{-2x} = \int e^{-x}\,dx = -e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolando y, obtemos
y = \bigl(-e^{-x} + C\bigr)e^{2x} = -e^{-x}e^{2x} + C\,e^{2x} = -e^{x} + C\,e^{2x}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C\,e^{2x} - e^{x},\quad C\in\mathbb{R},
com domínio máximo x\in\mathbb{R}, pois as funções exponenciais estão definidas para todo real.

Exercícios relacionados