Exercício 0.4 Em quantos partes n retas divide um plano se duas de retas quaisquer são paralelas e nem três retas se encontram num ponto?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Em quantas partes n retas dividem o plano, dadas as condições de que nenhuma duas são paralelas e nenhuma três são concorrentes?”
Conteúdo: combinatória e recorrência. Vamos usar indução, contando como cada reta nova acrescenta regiões.

Passo 2

Suponha que já temos \,k-1\ retas em posição geral (sem paralelismo nem concorrentismo triplo) e que elas dividem o plano em r_{k-1} regiões. Ao traçar a k-ésima reta, ela corta cada uma das k-1 retas anteriores em pontos distintos (pois não há paralelas nem três em um mesmo ponto), produzindo exatamente k-1 pontos de interseção ao longo dela.

Passo 3

Esses k-1 pontos partem a k-ésima reta em k segmentos. Cada segmento atravessa uma região existente e a divide em duas, de modo que a reta adiciona k novas regiões. Assim obtemos a relação de recorrência
r_k = r_{k-1} + k.

Passo 4

Sabendo que com zero retas há r_0 = 1 região, somamos para k=1 até n:
r_n = r_0 + \sum_{k=1}^{n} k = 1 + \frac{n(n+1)}{2}.

Resposta

r_n = 1 + \frac{n(n+1)}{2}.

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