Exercício 0.4 Em quantos partes n retas divide um plano se duas de retas quaisquer são paralelas e nem três retas se encontram num ponto?
Passo 1
O enunciado pergunta: “Em quantas partes
retas dividem o plano, dadas as condições de que nenhuma duas são paralelas e nenhuma três são concorrentes?”
Conteúdo: combinatória e recorrência. Vamos usar indução, contando como cada reta nova acrescenta regiões.
Conteúdo: combinatória e recorrência. Vamos usar indução, contando como cada reta nova acrescenta regiões.
Passo 2
Suponha que já temos
\ retas em posição geral (sem paralelismo nem concorrentismo triplo) e que elas dividem o plano em
regiões. Ao traçar a
-ésima reta, ela corta cada uma das
retas anteriores em pontos distintos (pois não há paralelas nem três em um mesmo ponto), produzindo exatamente
pontos de interseção ao longo dela.
Passo 3
Esses
pontos partem a
-ésima reta em
segmentos. Cada segmento atravessa uma região existente e a divide em duas, de modo que a reta adiciona
novas regiões. Assim obtemos a relação de recorrência
Passo 4
Sabendo que com zero retas há
região, somamos para
até
: