Resolva as equações:
y^{\prime}=e^{x-2 y}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
y' = e^{x-2y}.
O conteúdo é separação de variáveis, pois podemos escrever a derivada como \tfrac{dy}{dx} e isolar termos em y de um lado e em x do outro.

Passo 2

Escrevemos
\frac{dy}{dx} = e^{x-2y} = e^x \,e^{-2y}
e, em seguida, agrupamos as variáveis:
e^{2y}\,dy = e^x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int e^{2y}\,dy = \int e^x\,dx.

Passo 4

Calculando as integrais, obtemos
\frac{1}{2}e^{2y} = e^x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Multiplicando por 2 e isolando y, chega-se a
e^{2y} = 2e^x + C_1,
com C_1=2C. Tomando logaritmo natural,
2y = \ln\bigl(2e^x + C_1\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = \tfrac{1}{2}\ln\bigl(2e^x + C_1\bigr).

Resposta

A solução geral é
y(x) = \frac{1}{2}\ln\bigl(2e^x + C\bigr),
onde C é constante arbitrária.

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