(a) Dê as soluções fundamentais da EDO : y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime}=0.
(b) Dê a solução geral da EDO em (a).
(c) Converta a equação diferencial \mathrm{y}^{\prime \prime \prime} \mathrm{y}^{\prime}=0 em um sistema de 3 equações diferenciais de primeira ordem.
(d) Dê 3 soluções fundamentais do sistema obtido em ©. Sugestão: Utilize o que obteve em (a).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
y''' + y' = 0
que é linear, homogênea de coeficientes constantes. Vamos (a) encontrar as soluções fundamentais via equação característica, (b) montar a solução geral, (c) converter em sistema de primeira ordem e (d) obter soluções fundamentais desse sistema.

Passo 2

Para achar as soluções fundamentais, escrevemos a equação característica substituindo y=e^{rx}:
r^3 + r = 0
Fatorando,
r(r^2 + 1) = 0
dá raízes r=0 e r=\pm i. Assim as soluções básicas são
e^{0x}=1,\quad e^{ix}=\cos x + i\sin x,\quad e^{-ix}=\cos x - i\sin x
e as três soluções reais independentes são
1,\quad \cos x,\quad \sin x.

Passo 3

A solução geral da EDO é combinação linear das soluções fundamentais:
y(x) = C_{1}\,1 + C_{2}\cos x + C_{3}\sin x,
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Definimos variáveis de estado para obter um sistema de 1ª ordem:
x_{1} = y,\quad x_{2} = y',\quad x_{3} = y''.
Então
x_{1}' = x_{2},\quad x_{2}' = x_{3},\quad x_{3}' = y''' = -\,y' = -\,x_{2}.
O sistema é
\begin{cases} x_{1}' = x_{2},\\\ x_{2}' = x_{3},\\\ x_{3}' = -\,x_{2}. \end{cases}

Passo 5

Usando as soluções de parte (a), geramos três vetores soluções do sistema:
  1. Para y=1:
    \displaystyle x_{1}=1,\;x_{2}=0,\;x_{3}=0
\mathbf{X}^{(1)}(x)=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
  1. Para y=\cos x:
    \displaystyle x_{1}=\cos x,\;x_{2}=-\sin x,\;x_{3}=-\cos x
\mathbf{X}^{(2)}(x)=\begin{pmatrix}\cos x\\\ -\,\sin x\\\ -\,\cos x\end{pmatrix}.
  1. Para y=\sin x:
    \displaystyle x_{1}=\sin x,\;x_{2}=\cos x,\;x_{3}=-\sin x
\mathbf{X}^{(3)}(x)=\begin{pmatrix}\sin x\\cos x\\\ -\,\sin x\end{pmatrix}.

Resposta

(a) As soluções fundamentais são
\{\,1,\;\cos x,\;\sin x\}.
(b) A solução geral é
y(x)=C_{1}+C_{2}\cos x + C_{3}\sin x.
(c) Em primeira ordem, com x_{1}=y,\;x_{2}=y',\;x_{3}=y'', o sistema é
\begin{cases} x_{1}' = x_{2},\\\ x_{2}' = x_{3},\\\ x_{3}' = -\,x_{2}. \end{cases}
(d) Três soluções fundamentais do sistema são
\mathbf{X}^{(1)}(x)=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad \mathbf{X}^{(2)}(x)=\begin{pmatrix}\cos x\\\ -\,\sin x\\\ -\,\cos x\end{pmatrix},\quad \mathbf{X}^{(3)}(x)=\begin{pmatrix}\sin x\\cos x\\\ -\,\sin x\end{pmatrix}.

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