Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.
y=\ln (\operatorname{arccos} x)

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a derivada da função
y = \ln\bigl(\operatorname{arccos} x\bigr).
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos um logaritmo natural de uma função composta, e também precisamos saber a derivada de \operatorname{arccos} x.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia ao logaritmo natural, temos
y' = \frac{1}{\operatorname{arccos} x}\,\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos} x\bigr).

Passo 3

Recordando a derivada da função arco-cosseno,
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{arccos} x\bigr) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\,,
válida para -1 < x < 1.

Passo 4

Substituindo na expressão de y' e simplificando, obtemos
y' = \frac{1}{\operatorname{arccos} x}\,\Bigl(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\Bigr) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}\,\operatorname{arccos} x}.

Resposta

y' = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}\,\operatorname{arccos} x},\quad -1<x<1.

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