Utilize a Transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial (PVI) dado:
\mathrm{y}^{\prime}{ }^{\prime}-3 \mathrm{y}^{\prime}+2 \mathrm{y}=e^{-4 t} ; \mathrm{y}(0)=1, \mathrm{y}^{\prime}(0)=5

Passo 1

O enunciado pede resolver o problema de valor inicial
y'' - 3y' + 2y = e^{-4t},\quad y(0)=1,\;y'(0)=5
usando a transformada de Laplace. Vamos precisar das fórmulas
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0), \quad \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
além de manipular álgebra de funções racionais em s.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em cada termo da equação, obtemos
\bigl[s^2Y(s)-s\cdot1-5\bigr]\;-\;3\bigl[sY(s)-1\bigr]\;+\;2Y(s) \;=\;\frac{1}{s+4}.
Agora somamos os termos semelhantes em Y(s) e isolamos:

Passo 3

Reescrevendo e coletando Y(s),
s^2Y(s)-3sY(s)+2Y(s)\;-\;(s+5-3) \;=\;\frac{1}{s+4},
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(s^2-3s+2)\,Y(s)\;-\;(s+2) \;=\;\frac{1}{s+4},
Y(s)\;=\;\frac{s+2}{(s-1)(s-2)}\;+\;\frac{1}{(s+4)(s-1)(s-2)}.

Passo 4

Decompomos em frações parciais cada parcela:
  1. Para \dfrac{s+2}{(s-1)(s-2)}, achamos
\frac{s+2}{(s-1)(s-2)} =\frac{-3}{s-1}+\frac{4}{s-2}.
  1. Para \dfrac{1}{(s+4)(s-1)(s-2)}, escrevemos
\frac{1}{(s+4)(s-1)(s-2)} =\frac{1/30}{s+4}-\frac{1/5}{s-1}+\frac{1/6}{s-2}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa a cada termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl(\tfrac{-3}{s-1}\Bigr)= -3e^{t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl(\tfrac{4}{s-2}\Bigr)= 4e^{2t},
\mathcal{L}^{-1}\!\Bigl(\tfrac{1/30}{s+4}\Bigr)= \tfrac{1}{30}e^{-4t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl(\tfrac{-1/5}{s-1}\Bigr)= -\tfrac{1}{5}e^{t}, \quad \mathcal{L}^{-1}\!\Bigl(\tfrac{1/6}{s-2}\Bigr)= \tfrac{1}{6}e^{2t}.
Somando tudo e agrupando termos semelhantes em e^t e e^{2t}:

Resposta

y(t) =-\frac{16}{5}e^{t} +\frac{25}{6}e^{2t} +\frac{1}{30}e^{-4t}.

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