Solve
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Informações dadas:
- Equação diferencial ordinária (EDO) linear homogênea de segunda ordem.
- Coeficientes constantes:
para , para e para .
O objetivo é encontrar a solução geral, isto é, a família de funções que satisfazem essa equação (com constantes arbitrárias).
Passo 2
Escolhendo o método: para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes o método padrão (e mais simples) é usar a equação característica. Vou seguir esse método porque é o mais direto e costuma ser pedido em provas. A ideia é procurar soluções da forma
, onde
é um número a determinar.
Passo 3
Formar a equação característica substituindo
na EDO. Se
então
e
. Substituindo na equação:
Como
para todo
, divide-se por
e obtém-se a equação polinomial (equação característica):
Passo 4
Resolver a equação característica
. Trata-se de um quadrático; calcule o discriminante:
Discriminante nulo significa raiz dupla. A raiz é
Portanto
é raiz de multiplicidade
.
Passo 5
Interpretando a raiz dupla: quando a equação característica tem duas raízes distintas
a solução geral é
. Quando há raiz dupla
de multiplicidade 2, a forma geral da solução é
ou seja, surge um fator polinomial de grau
multiplicando
. Vou justificar rapidamente por um método curto e limpo (fácil de repetir na prova):
A equação característica fatoriza como
. Em termos do operador diferencial
isso corresponde a fatorizar o operador da EDO:
Definindo
, a equação fica
, que é uma EDO de primeira ordem para
:
Resolver essa EDO de primeira ordem dá
. Agora voltamos a
resolvendo
, que é outra EDO linear de primeira ordem. Usando fator integrante
:
integramos e obtemos
Isolando
:
Renomeando constantes (normalmente escrevemos
arbitrariamente) chegamos à solução geral esperada.
Passo 6
Escrevendo a solução geral de forma final e clara:
onde
e
são constantes arbitrárias (reais, se quisermos soluções reais). Essa fórmula contém todas as soluções da EDO dada.
Passo 7
Verificação rápida (útil na prova): calcule
a partir de
e substitua na EDO; todas as termos se cancelam. Isso confirma que a expressão é solução. Procedimento de verificação:
-
, -
.
Substituindo emtodos os coeficientes somam zero, portanto a função satisfaz a equação.
Passo 8
Dica para a prova: ao ver um polinômio característico com discriminante nulo imediatamente lembre que a solução terá a forma
. Se quiser derivação alternativa, pense sempre na fatoração do operador como
e resolva em dois passos (reduzindo a ordem).