Solve
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+4 \frac{d y}{d x}+4 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+4\frac{dy}{dx}+4y=0.
Informações dadas:
  • Equação diferencial ordinária (EDO) linear homogênea de segunda ordem.
  • Coeficientes constantes: 1 para y'', 4 para y' e 4 para y.
    O objetivo é encontrar a solução geral y(x), isto é, a família de funções que satisfazem essa equação (com constantes arbitrárias).

Passo 2

Escolhendo o método: para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes o método padrão (e mais simples) é usar a equação característica. Vou seguir esse método porque é o mais direto e costuma ser pedido em provas. A ideia é procurar soluções da forma y=e^{r x}, onde r é um número a determinar.

Passo 3

Formar a equação característica substituindo y=e^{r x} na EDO. Se y=e^{r x} então y' = r e^{r x} e y'' = r^{2} e^{r x}. Substituindo na equação:
r^{2}e^{r x} + 4 r e^{r x} + 4 e^{r x}=0.
Como e^{r x}\neq 0 para todo x, divide-se por e^{r x} e obtém-se a equação polinomial (equação característica):
r^{2}+4r+4=0.

Passo 4

Resolver a equação característica \,r^{2}+4r+4=0. Trata-se de um quadrático; calcule o discriminante:
\Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot4 = 16-16 = 0.
Discriminante nulo significa raiz dupla. A raiz é
r = \frac{-4}{2} = -2.
Portanto r=-2 é raiz de multiplicidade 2.

Passo 5

Interpretando a raiz dupla: quando a equação característica tem duas raízes distintas r_1,r_2 a solução geral é y=C_1 e^{r_1 x}+C_2 e^{r_2 x}. Quando há raiz dupla r de multiplicidade 2, a forma geral da solução é
y=(C_1 + C_2 x)e^{r x},
ou seja, surge um fator polinomial de grau 1 multiplicando e^{r x}. Vou justificar rapidamente por um método curto e limpo (fácil de repetir na prova):
A equação característica fatoriza como (r+2)^{2}=0. Em termos do operador diferencial D=\dfrac{d}{dx} isso corresponde a fatorizar o operador da EDO:
(D+2)^{2}y=0.
Definindo z=(D+2)y = y'+2y, a equação fica (D+2)z=0, que é uma EDO de primeira ordem para z:
z'+2z=0.
Resolver essa EDO de primeira ordem dá z=C_1 e^{-2x}. Agora voltamos a y resolvendo y'+2y = C_1 e^{-2x}, que é outra EDO linear de primeira ordem. Usando fator integrante e^{2x}:
\bigl(e^{2x}y\bigr)' = C_1,
integramos e obtemos
e^{2x}y = C_1 x + C_2.
Isolando y:
y = (C_1 x + C_2)e^{-2x}.
Renomeando constantes (normalmente escrevemos C_1,C_2 arbitrariamente) chegamos à solução geral esperada.

Passo 6

Escrevendo a solução geral de forma final e clara:
y(x) = (C_1 + C_2 x)\,e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias (reais, se quisermos soluções reais). Essa fórmula contém todas as soluções da EDO dada.

Passo 7

Verificação rápida (útil na prova): calcule y',y'' a partir de y=(C_1+C_2 x)e^{-2x} e substitua na EDO; todas as termos se cancelam. Isso confirma que a expressão é solução. Procedimento de verificação:
  • y' = \bigl(C_2 -2(C_1 + C_2 x)\bigr)e^{-2x},
  • y'' = \bigl(-4C_2 +4(C_1 + C_2 x)\bigr)e^{-2x}.
    Substituindo em y''+4y'+4y todos os coeficientes somam zero, portanto a função satisfaz a equação.

Passo 8

Dica para a prova: ao ver um polinômio característico com discriminante nulo imediatamente lembre que a solução terá a forma (A+Bx)e^{rx}. Se quiser derivação alternativa, pense sempre na fatoração do operador como (D-r)^2 e resolva em dois passos (reduzindo a ordem).

Resposta

y(x)=(C_1 + C_2 x)\,e^{-2x}

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