Solve
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}-10 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 3\frac{dy}{dx} - 10y = 0.
Informações dadas:
  • Trata-se de uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • Não há condições iniciais fornecidas, então devemos encontrar a solução geral y(x).
    A pergunta clara é: determinar a forma geral de y(x) que satisfaz a equação acima.

Passo 2

Escolha do método (motivo e ideia principal).
Para equações homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes é muito eficiente tentar uma solução da forma exponencial
y(x)=e^{rx},
onde r é um número a determinar. A razão é simples: derivar um exponencial apenas multiplica por r, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para r (a chamada equação característica). Esse método é direto e rápido na prova.

Passo 3

Aplicar a tentativa y=e^{rx} e calcular as derivadas necessárias.
Se y=e^{rx} então
\frac{dy}{dx}=r e^{rx}, \qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=r^{2} e^{rx}.
Substituindo essas expressões na equação diferencial obtém-se uma expressão fatorada por e^{rx}:
r^{2} e^{rx} - 3 r e^{rx} - 10 e^{rx} = 0.
Como e^{rx}\neq 0 para todo x, podemos dividir por e^{rx} e obter a equação algébrica (característica)
r^{2} - 3r - 10 = 0.

Passo 4

Resolver a equação característica.
A equação
r^{2} - 3r - 10 = 0
pode ser fatorada. Procuramos dois números cujo produto seja -10 e cuja soma seja -3; esses números são -5 e 2. Logo a fatoração é
r^{2} - 3r - 10 = (r-5)(r+2).
Portanto as raízes são
r=5 \quad\text{e}\quad r=-2.

Passo 5

Construir a solução geral a partir das raízes distintas reais.
Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas r_{1} e r_{2}, as funções e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} são soluções linearmente independentes, e a solução geral da equação diferencial homogênea é
y(x)=C_{1} e^{r_{1}x} + C_{2} e^{r_{2}x}.
Aqui r_{1}=5 e r_{2}=-2, logo
y(x)=C_{1} e^{5x} + C_{2} e^{-2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias que seriam fixadas por condições iniciais, se existentes.

Passo 6

Verificação rápida substituindo a solução geral na equação (confirmação).
Calcule as derivadas de y(x)=C_{1} e^{5x} + C_{2} e^{-2x}:
\frac{dy}{dx}=5C_{1} e^{5x} - 2C_{2} e^{-2x}, \qquad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=25C_{1} e^{5x} + 4C_{2} e^{-2x}.
Substituindo na equação:
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - 3\frac{dy}{dx} - 10y = \bigl(25-15-10\bigr)C_{1} e^{5x} + \bigl(4+6-10\bigr)C_{2} e^{-2x} =0\cdot C_{1} e^{5x} + 0\cdot C_{2} e^{-2x}=0.
Portanto a solução encontrada satisfaz a equação identicamente.

Passo 7

Comentário didático rápido sobre outros casos (para a prova).
  • Se a equação característica tivesse uma raiz real dupla r, a solução geral seria (C_{1}+C_{2}x)e^{rx}.
  • Se tivesse raízes complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta, a solução geral seria e^{\alpha x}\bigl(C_{1}\cos(\beta x)+C_{2}\sin(\beta x)\bigr).
    Saber reconhecer cada caso ajuda a aplicar o método com segurança na prova.

Resposta

y(x)=C_{1} e^{5x} + C_{2} e^{-2x}

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