Solve
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas:
- Trata-se de uma equação diferencial ordinária homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.
- Não há condições iniciais fornecidas, então devemos encontrar a solução geral
.
A pergunta clara é: determinar a forma geral deque satisfaz a equação acima.
Passo 2
Escolha do método (motivo e ideia principal).
Para equações homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes é muito eficiente tentar uma solução da forma exponencial
Para equações homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes é muito eficiente tentar uma solução da forma exponencial
onde
é um número a determinar. A razão é simples: derivar um exponencial apenas multiplica por
, o que transforma a equação diferencial numa equação algébrica para
(a chamada equação característica). Esse método é direto e rápido na prova.
Passo 3
Aplicar a tentativa
e calcular as derivadas necessárias.
Se então
Se
Substituindo essas expressões na equação diferencial obtém-se uma expressão fatorada por
:
Como
para todo
, podemos dividir por
e obter a equação algébrica (característica)
Passo 4
Resolver a equação característica.
A equação
A equação
pode ser fatorada. Procuramos dois números cujo produto seja
e cuja soma seja
; esses números são
e
. Logo a fatoração é
Portanto as raízes são
Passo 5
Construir a solução geral a partir das raízes distintas reais.
Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas e
, as funções
e
são soluções linearmente independentes, e a solução geral da equação diferencial homogênea é
Quando a equação característica tem duas raízes reais e distintas
Aqui
e
, logo
onde
e
são constantes arbitrárias que seriam fixadas por condições iniciais, se existentes.
Passo 6
Verificação rápida substituindo a solução geral na equação (confirmação).
Calcule as derivadas de :
Calcule as derivadas de
Substituindo na equação:
Portanto a solução encontrada satisfaz a equação identicamente.
Passo 7
Comentário didático rápido sobre outros casos (para a prova).
- Se a equação característica tivesse uma raiz real dupla
, a solução geral seria . - Se tivesse raízes complexas conjugadas
, a solução geral seria .
Saber reconhecer cada caso ajuda a aplicar o método com segurança na prova.