Solve
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - y = 0.
Informações dadas e o que é pedido:
  • É uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes.
  • Não foram dadas condições iniciais; portanto o objetivo é encontrar a solução geral y(x) com constantes arbitrárias.

Passo 2

Estratégia (explicada de forma simples): uma técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é procurar soluções do tipo exponencial
y(x)=e^{r x},
porque derivando exponenciais o resultado é proporcional a e^{r x} e isso simplifica a equação. Aqui r é uma constante (que pode ser complexa) a determinar. Vou justificar isso passo a passo.

Passo 3

Substituindo y(x)=e^{r x} na equação dada:
  • Derivadas: \dfrac{d y}{dx}=r e^{r x} e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=r^{2} e^{r x}.
  • Inserindo na equação:
r^{2} e^{r x} - e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação polinomial em r chamada equação característica:
r^{2}-1=0.

Passo 4

Resolver a equação característica:
r^{2}-1=0 \quad\Rightarrow\quad r^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad r=\pm 1.
Obtemos duas raízes reais distintas r_{1}=1 e r_{2}=-1.

Passo 5

Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, as funções e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} são soluções independentes da equação diferencial, e a solução geral é a combinação linear delas:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Substituindo nossos r:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (reais se buscarmos soluções reais).

Passo 6

Verificação direta (sempre bom checar na prova): calcule as derivadas de y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}:
y'(x)=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}, \qquad y''(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}.
Agora substitua em \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}-y:
y''-y=(C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x})-(C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x})=0.
Portanto a solução encontrada satisfaz a equação.

Passo 7

Comentário sobre independência das soluções (por que precisamos de duas constantes): as duas soluções básicas e^{x} e e^{-x} são linearmente independentes porque o Wronskiano delas é diferente de zero:
W(e^{x},e^{-x})=\begin{vmatrix} e^{x} & e^{-x} \\\ e^{x} & -e^{-x} \end{vmatrix} = e^{x}(-e^{-x})-e^{-x}e^{x}=-1-1=-2\neq 0.
Logo formam uma base do espaço das soluções e a combinação linear com duas constantes cobre toda a solução geral.

Passo 8

Como aplicar na prova (dica prática): se derem condições iniciais do tipo y(x_{0})=A e y'(x_{0})=B, basta inserir x_{0} em y e y' para obter um sistema linear para C_{1},C_{2}. Por exemplo, para x_{0}=0:
C_{1}+C_{2}=y(0),\qquad C_{1}-C_{2}=y'(0),
resolvendo-se C_{1}=\dfrac{y(0)+y'(0)}{2} e C_{2}=\dfrac{y(0)-y'(0)}{2}.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}

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