O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - y = 0.
Informações dadas e o que é pedido:
É uma equação diferencial de segunda ordem, homogênea, com coeficientes constantes.
Não foram dadas condições iniciais; portanto o objetivo é encontrar a solução geral y(x) com constantes arbitrárias.
Passo 2
Estratégia (explicada de forma simples): uma técnica padrão para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes é procurar soluções do tipo exponencial
y(x)=e^{r x},
porque derivando exponenciais o resultado é proporcional a e^{r x} e isso simplifica a equação. Aqui r é uma constante (que pode ser complexa) a determinar. Vou justificar isso passo a passo.
Passo 3
Substituindo y(x)=e^{r x} na equação dada:
Derivadas: \dfrac{d y}{dx}=r e^{r x} e \dfrac{d^{2}y}{dx^{2}}=r^{2} e^{r x}.
Inserindo na equação:
r^{2} e^{r x} - e^{r x} = 0.
Como e^{r x} nunca é zero, podemos dividir por e^{r x} e obter a equação polinomial em r chamada equação característica:
Obtemos duas raízes reais distintas r_{1}=1 e r_{2}=-1.
Passo 5
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, as funções e^{r_{1}x} e e^{r_{2}x} são soluções independentes da equação diferencial, e a solução geral é a combinação linear delas:
y(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}.
Substituindo nossos r:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (reais se buscarmos soluções reais).
Passo 6
Verificação direta (sempre bom checar na prova): calcule as derivadas de y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}:
Comentário sobre independência das soluções (por que precisamos de duas constantes): as duas soluções básicas e^{x} e e^{-x} são linearmente independentes porque o Wronskiano delas é diferente de zero:
Logo formam uma base do espaço das soluções e a combinação linear com duas constantes cobre toda a solução geral.
Passo 8
Como aplicar na prova (dica prática): se derem condições iniciais do tipo y(x_{0})=A e y'(x_{0})=B, basta inserir x_{0} em y e y' para obter um sistema linear para C_{1},C_{2}. Por exemplo, para x_{0}=0:
C_{1}+C_{2}=y(0),\qquad C_{1}-C_{2}=y'(0),
resolvendo-se C_{1}=\dfrac{y(0)+y'(0)}{2} e C_{2}=\dfrac{y(0)-y'(0)}{2}.