Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
Passo 1
Resumindo, temos a equação diferencial em forma de diferencial total
e um ponto inicial
. O método que vamos usar é o de verificar se a equação é exata e, em caso positivo, encontrar uma função potencial
tal que
Passo 2
Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais
Como são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Construímos
integrando
em relação a
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 4
Para achar
, usamos
. Calculamos
e igualamos a
. Logo
, o que dá
(constante absorvida depois).
Passo 5
A função potencial completa é
A solução implícita geral é
Passo 6
Aplicando a condição inicial
:
logo
. A solução implícita particular é
Passo 7
Se quisermos
em função de
, resolvemos
pela fórmula de Bhaskara:
Como
, escolhemos o sinal
.
Resposta
Solução implícita geral:
Solução particular com
: