Solve the given differential equation. If an initial condition is given, also find the solution that satisfies it.
(x+y) d x+(x+2 y) d y=0, y(2)=3

Passo 1

Resumindo, temos a equação diferencial em forma de diferencial total
(x+y),dx + (x+2y),dy = 0
e um ponto inicial l(x(2)=2,;y(2)=3r). O método que vamos usar é o de verificar se a equação é exata e, em caso positivo, encontrar uma função potencial F(x,y) tal que
partial Fpartial x=x+y, partial Fpartial y=x+2y

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais
partialpartial y(x+y)=1, partialpartial x(x+2y)=1
Como são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Construímos F(x,y) integrando partial F/partial x = x+y em relação a x:
F(x,y)=integral (x+y),dx =x^22+xy+g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para achar g(y), usamos partial F/partial y = x+2y. Calculamos
partialpartial yl(tfracx^22+xy+g(y)r) =x+g'(y)
e igualamos a x+2y. Logo g'(y)=2y, o que dá g(y)=y^2 (constante absorvida depois).

Passo 5

A função potencial completa é
F(x,y)=x^22+xy+y^2
A solução implícita geral é
F(x,y)=C Longrightarrow x^22+xy+y^2=C

Passo 6

Aplicando a condição inicial x=2,;y=3:
2^22+2cdot3+3^2 =2+6+9=17,
logo C=17. A solução implícita particular é
x^22+xy+y^2=17

Passo 7

Se quisermos y em função de x, resolvemos
y^2 + xy + x^22-17=0
pela fórmula de Bhaskara:
y=-xpmraizx^2-4l(tfracx^22-17r)2 =-xpmraiz68-x^22
Como y(2)=3>0, escolhemos o sinal +.

Resposta

Solução implícita geral:
x^22+xy+y^2=C
Solução particular com y(2)=3:
x^22+xy+y^2=17 ou y(x)=-x+raiz68-x^22

Exercícios relacionados