Resolva os sistemas lineares abaixo usando a fatoração de Cholesky:
r20 x1+7 x2+9 x3=16 7 x1+30 x2+8 x3=38 9 x1+8 x2+30 x3=38

Passo 1

O sistema dado é
A x = b, A = 20 & 7 & 9 7 & 30 & 8 9 & 8 & 30 , b = 163838
Como A é simétrica e (como veremos) positiva-definida, podemos escrever
A = L,L^T
onde L é triangular inferior. Depois resolvemos
L,y = b e L^T x = y
por substituição direta e reversa.

Passo 2

Cálculo dos elementos da primeira coluna de L:
l11 = raiza11 = raiz20, l21 = a21l11 = 7raiz20, l31 = a31l11 = 9raiz20

Passo 3

Cálculo dos elementos da segunda coluna de L:
l22 = raiza22 - l21^2 = raiz30 - l(7raiz20r)^2 = raiz55120,
l32 = a32 - l31,l21l22 = 8 - dfrac9raiz20cdotdfrac7raiz20raiz551/20 = 8 - tfrac6320raiz551/20 = tfrac9720raiz551/20

Passo 4

Cálculo de l33 e montagem de L:
l33 = raiza33 - l31^2 - l32^2 = raiz30 - 8120 - l(97/20raiz551/20r)^2
Numericamente obtemos
L approx 4,4721 & 0 & 0 1,5653 & 5,2486 & 0 2,0125 & 0,9241 & 5,0096

Passo 5

Resolvendo L,y = b por substituição direta:
y1 = 164,4721 approx 3,5785,
y2 = 38 - 1,5653cdot y15,2486 approx 38 - 5,6035,2486 approx 6,1720,
y3 = 38 - 2,0125cdot y1 - 0,9241cdot y25,0096 approx 5,0080

Passo 6

Resolvendo L^T x = y por substituição reversa:
l33,x3 = y3 Longrightarrow x3 = 5,00805,0096approx 1,
l22,x2 + l32,x3 = y2 Longrightarrow x2 = 6,1720 - 0,9241cdot15,2486approx 1,
l11,x1 + l21,x2 + l31,x3 = y1 Longrightarrow x1 = 3,5785 - 1,5653cdot1 - 2,0125cdot14,4721approx 0

Resposta

x1 = 0, x2 = 1, x3 = 1

Exercícios relacionados