Ache os quatro primeiros elementos da seqüência de somas parciais [sn] e encontre uma fórmula para sn em termos de n. Também determine se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, ache a sua soma.
sumn=1^+infty 34^n+1

Passo 1

O enunciado pede os quatro primeiros elementos da sequência de somas parciais [sn] e uma fórmula geral de sn para a série
sumn=1^+infty 34^n+1
O conteúdo envolve séries geométricas, então vamos identificar a razão, o primeiro termo e aplicar a fórmula de soma parcial e estudar a convergência.

Passo 2

Calcular manualmente os primeiros quatro sn:
s1 = 34^1+1 = 34^2 = 316
s2 = s1 + 34^3 = 316 + 364 = 1564
s3 = s2 + 34^4 = 1564 + 3256 = 63256
s4 = s3 + 34^5 = 63256 + 31024 = 2551024

Passo 3

Para a fórmula geral note que
34^n+1 = 34^2l(14r)^n-1,
é uma PG com a = tfrac316 e r = tfrac14. A soma parcial é
sn = a ,1 - r^n1 - r = 316,1 - l(tfrac14r)^n1 - tfrac14 = 14l(1 - 14^nr) = 14 - 14^n+1

Passo 4

Como limntoinfty 14^n+1 = 0, a série é convergente e
sumn=1^infty 34^n+1 = limntoinfty sn = 14

Resposta

s1 = tfrac316
s2 = tfrac1564
s3 = tfrac63256
s4 = tfrac2551024
Em geral sn = tfrac14 - tfrac14^n+1.
A série é convergente e tem soma tfrac14.

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