Encontre f^prime(x) para cada uma das seguintes funções f.
f(x)=sin ^2((cos x+sin x)^2).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=sin^2l((cos x+sin x)^2r)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia, pois temos uma composição de três funções: a soma cos x+sin x, o quadrado dessa soma, e por fim o quadrado do seno.

Passo 2

Definimos as funções intermediárias para aplicar a cadeia em etapas:
u(x)=(cos x+sin x)^2, v(u)=sin^2(u)
Então f(x)=vl(u(x)r).
A derivada de v(u) em relação a u é
v'(u)=2sin(u)cos(u)

Passo 3

Agora derivamos u(x)=(cos x+sin x)^2. Usando regra do poder e soma:
u'(x)=2(cos x+sin x),ddx(cos x+sin x) =2(cos x+sin x),(-sin x+cos x)

Passo 4

Pela regra da cadeia,
f'(x)=v'l(u(x)r)cdot u'(x) =2sinl(u(x)r)cosl(u(x)r);times;2(cos x+sin x)(cos x-sin x)
Agrupando,
f'(x)=4,sinl((cos x+sin x)^2r), cosl((cos x+sin x)^2r), (cos x+sin x)(cos x-sin x)
Como 2sin Acos A=sin(2A), podemos simplificar ainda mais.

Resposta

f'(x) =2,sin!l(2(cos x+sin x)^2r); (cos x+sin x),(cos x-sin x)

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