A soma dos coeficientes do desenvolvimento de \left(5 x^{3}-3 y^{2}\right)^{n} é igual a 4^{9}. Determine o valor de n.

Passo 1

O enunciado pede a soma dos coeficientes do desenvolvimento de \left(5x^{3}-3y^{2}\right)^{n}, e nos diz que essa soma vale 4^{9}. Para isso vamos usar o Teorema do Binômio e a propriedade de que a soma dos coeficientes de um polinômio em x,y é obtida ao substituir x=1 e y=1.

Passo 2

Se definirmos
P(x,y)=\bigl(5x^{3}-3y^{2}\bigr)^{n},
então a soma de todos os coeficientes de P é
P(1,1).

Passo 3

Substituindo x=1 e y=1, temos
P(1,1)=\bigl(5\cdot1^{3}-3\cdot1^{2}\bigr)^{n}=(5-3)^{n}=2^{n}.

Passo 4

Como essa soma vale 4^{9}, escrevemos
2^{n}=4^{9}=(2^{2})^{9}=2^{18},
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n=18.

Resposta

18

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