Encontre o valor de:
99^{5}+5 \cdot 99^{4}+10 \cdot 99^{3}+10 \cdot 99^{2}+5 \cdot 99+1

Passo 1

O enunciado pede o valor de
99^{5}+5\cdot99^{4}+10\cdot99^{3}+10\cdot99^{2}+5\cdot99+1.
Note que os coeficientes 1,5,10,10,5,1 são exatamente os coeficientes binomiais para n=5. Vamos usar o Teorema Binomial para simplificar.

Passo 2

O Teorema Binomial afirma que, para quaisquer a,b e inteiro n\ge0,
(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{\,n-k}.
No caso n=5, os coeficientes são \binom{5}{0}=1, \binom{5}{1}=5, \binom{5}{2}=10, \binom{5}{3}=10, \binom{5}{4}=5 e \binom{5}{5}=1.

Passo 3

Basta identificar a=99 e b=1. Então
(99+1)^5 =\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}99^k\,1^{5-k} =99^5+5\cdot99^4+10\cdot99^3+10\cdot99^2+5\cdot99+1.

Passo 4

Portanto a soma vale (100)^5. Como
100^5 = 10^{10} = 10000000000,
concluímos o resultado.

Resposta

10000000000

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