A soma de duas ondas progressivas senoidais unidimensionais, se propagando em um mesmo meio, é uma onda progressiva senoidal apenas se
Escolha uma opção:
a. as ondas têm a mesma frequência e se propagam no mesmo sentido.
b. as ondas têm a mesma frequência e a mesma amplitude.
c. as ondas têm a mesma amplitude e se propagam no mesmo sentido.
d. as ondas têm a mesma frequência e se propagam em sentidos opostos.
e. as ondas têm a mesma amplitude e se propagam em sentidos opostos.
Escolha uma opção:
Passo 1
O enunciado pergunta: quando a soma de duas ondas progressivas senoidais unidimensionais, que se propagam no mesmo meio, resulta em uma única onda progressiva senoidal?\n
Informações dadas (implícitas no enunciado):\n
Informações dadas (implícitas no enunciado):\n
- Temos duas ondas senoidais unidimensionais propagando-se no mesmo meio.\n
- As alternativas relacionam propriedades possíveis das ondas: mesma frequência, mesma amplitude, mesmo sentido (ou sentidos opostos).\n
O que é pedido: identificar qual condição (entre as opções a–e) garante que a soma das duas ondas seja uma onda progressiva senoidal única.
Passo 2
Modelando matematicamente as duas ondas: escrevemos cada onda como uma senóide progressiva geral. Para a primeira onda, tomamos
Para a segunda onda, tomamos
Explicação dos símbolos usada:\n
- ) são as amplitudes (altura máxima) das ondas.\n
-
) são os números de onda, medidos em
; relacionam-se ao comprimento de onda por .\n -
) são as pulsações (frequências angulares) em
; relacionam-se à frequência por .\n - ) são as fases iniciais.\n
- O termo
representa uma onda que se propaga no sentido positivo de ; se o sinal de ou de tivesse sinal oposto, mudaria o sentido de propagação.
Passo 3
O objetivo é verificar quando
pode ser escrito como uma única senóide progressiva do tipo
para algum
). Ou seja, a soma precisa depender apenas da combinação
) (com o mesmo
e
) e não de argumentos diferentes.
Passo 4
Condição necessária sobre frequência e número de onda: se as duas ondas são no mesmo meio não-dispersivo (meio onde a relação de dispersão é
com
constante), então ter a mesma frequência implica ter o mesmo valor absoluto de
. Contudo, o sinal de
(ou equivalente o sinal no termo temporal) indica o sentido de propagação. Portanto, para que os argumentos das senos sejam exatamente iguais salvo por uma fase constante, precisamos que
e que os termos espaciais e temporais combinem da mesma forma, isto é, que
com os sinais compatíveis (mesmo sentido de propagação). Em resumo: precisamos de igual
e igual
com o mesmo sinal (mesmo sentido).
Passo 5
Mostrando algebraicamente que essa condição é suficiente. Suponha
e ambas se propagam no mesmo sentido (mesma forma
). Então escrevemos
onde
. A soma é
Usamos uma identidade trigonométrica para somar senos com o mesmo argumento base: escrevendo cada seno em termos de
e
,
Somando:
Isso pode ser reescrito como uma única senóide deslocada:
onde
e
satisfazem
Dessas equações obtemos explicitamente
e
Portanto, quando
e
com mesmo sinal (mesmo sentido), a soma é uma única onda progressiva senoidal com a mesma forma
e amplitude/ fase resultantes dadas acima. Note que as amplitudes individuais não precisam ser iguais.
Passo 6
Analisando as alternativas do enunciado à luz do que vimos:\n
- Alternativa (a): “as ondas têm a mesma frequência e se propagam no mesmo sentido.” Esta condição garante
e que e têm o mesmo sinal; em um meio não-dispersivo isso implica , portanto a soma é uma onda progressiva senoidal única (como demonstrado).\n - Alternativa (b): “mesma frequência e mesma amplitude.” A igualdade de amplitude não é necessária (nem suficiente) se as ondas não tiverem o mesmo sentido; amplitudes iguais sozinhas não garantem uma única onda progressiva.\n
- Alternativa (c): “mesma amplitude e mesmo sentido.” Amplitude igual também não garante que as frequências sejam iguais; frequências diferentes impedem a soma de ser uma única senóide progressiva.\n
- Alternativa (d): “mesma frequência e sentidos opostos.” Esse caso, em geral, não produz uma onda progressiva; quando amplitudes também forem iguais gera-se uma onda estacionária (standing wave), que não é uma onda progressiva.\n
- Alternativa (e): “mesma amplitude e sentidos opostos.” Mesmo sentido oposto tende a gerar padrões estacionários (ou mistura não-progresso), não uma onda progressiva única.
Passo 7
Conclusão: a condição correta é que as ondas tenham a mesma frequência e se propaguem no mesmo sentido, que é a alternativa (a).
Resposta
(a)