A soma de duas ondas progressivas senoidais unidimensionais, se propagando em um mesmo meio, é uma onda progressiva senoidal apenas se
Escolha uma opção:
\bigcirc a. as ondas têm a mesma frequência e se propagam no mesmo sentido.
\bigcirc b. as ondas têm a mesma frequência e a mesma amplitude.
\bigcirc c. as ondas têm a mesma amplitude e se propagam no mesmo sentido.
\bigcirc d. as ondas têm a mesma frequência e se propagam em sentidos opostos.
\bigcirc e. as ondas têm a mesma amplitude e se propagam em sentidos opostos.

Passo 1

O enunciado pergunta: quando a soma de duas ondas progressivas senoidais unidimensionais, que se propagam no mesmo meio, resulta em uma única onda progressiva senoidal?\n
Informações dadas (implícitas no enunciado):\n
  • Temos duas ondas senoidais unidimensionais propagando-se no mesmo meio.\n
  • As alternativas relacionam propriedades possíveis das ondas: mesma frequência, mesma amplitude, mesmo sentido (ou sentidos opostos).\n
    O que é pedido: identificar qual condição (entre as opções a–e) garante que a soma das duas ondas seja uma onda progressiva senoidal única.

Passo 2

Modelando matematicamente as duas ondas: escrevemos cada onda como uma senóide progressiva geral. Para a primeira onda, tomamos
y_1(x,t) = A_1 \sin\bigl(k_1 x - \omega_1 t + \phi_1\bigr).
Para a segunda onda, tomamos
y_2(x,t) = A_2 \sin\bigl(k_2 x - \omega_2 t + \phi_2\bigr).
Explicação dos símbolos usada:\n
  • \(A_1, A_2) são as amplitudes (altura máxima) das ondas.\n
  • \(k_1, k_2) são os números de onda, medidos em \text{rad/m}; relacionam-se ao comprimento de onda por \lambda = 2\pi/k.\n
  • \(\omega_1, \omega_2) são as pulsações (frequências angulares) em \text{rad/s}; relacionam-se à frequência f por \omega = 2\pi f.\n
  • \(\phi_1, \phi_2) são as fases iniciais.\n
  • O termo k x - \omega t representa uma onda que se propaga no sentido positivo de x; se o sinal de k ou de \omega t tivesse sinal oposto, mudaria o sentido de propagação.

Passo 3

O objetivo é verificar quando
y(x,t) = y_1(x,t)+y_2(x,t)
pode ser escrito como uma única senóide progressiva do tipo
y(x,t) = A \sin\bigl(k x - \omega t + \varphi\bigr)
para algum \(A,k,\omega,\varphi). Ou seja, a soma precisa depender apenas da combinação \(kx-\omega t) (com o mesmo k e \omega) e não de argumentos diferentes.

Passo 4

Condição necessária sobre frequência e número de onda: se as duas ondas são no mesmo meio não-dispersivo (meio onde a relação de dispersão é \omega = v k com v constante), então ter a mesma frequência implica ter o mesmo valor absoluto de k. Contudo, o sinal de k (ou equivalente o sinal no termo temporal) indica o sentido de propagação. Portanto, para que os argumentos das senos sejam exatamente iguais salvo por uma fase constante, precisamos que \omega_1=\omega_2 e que os termos espaciais e temporais combinem da mesma forma, isto é, que k_1=k_2 com os sinais compatíveis (mesmo sentido de propagação). Em resumo: precisamos de igual \omega e igual k com o mesmo sinal (mesmo sentido).

Passo 5

Mostrando algebraicamente que essa condição é suficiente. Suponha
\omega_1=\omega_2=\omega,\qquad k_1=k_2=k,
e ambas se propagam no mesmo sentido (mesma forma kx-\omega t). Então escrevemos
y_1 = A_1\sin\bigl(\theta+\phi_1\bigr),\qquad y_2 = A_2\sin\bigl(\theta+\phi_2\bigr),
onde \theta = kx-\omega t. A soma é
y = A_1\sin(\theta+\phi_1)+A_2\sin(\theta+\phi_2).
Usamos uma identidade trigonométrica para somar senos com o mesmo argumento base: escrevendo cada seno em termos de \sin\theta e \cos\theta,
\sin(\theta+\phi_i)=\sin\theta\cos\phi_i+\cos\theta\sin\phi_i.
Somando:
y = \sin\theta\,(A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2) + \cos\theta\,(A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2).
Isso pode ser reescrito como uma única senóide deslocada:
y = A\sin(\theta+\varphi)
onde A e \varphi satisfazem
A\cos\varphi = A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2,
A\sin\varphi = A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2.
Dessas equações obtemos explicitamente
A = \sqrt{\bigl(A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2\bigr)^2 + \bigl(A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2\bigr)^2}
e
\varphi = \arctan\!\Biggl(\frac{A_1\sin\phi_1 + A_2\sin\phi_2}{A_1\cos\phi_1 + A_2\cos\phi_2}\Biggr).
Portanto, quando \omega_1=\omega_2 e k_1=k_2 com mesmo sinal (mesmo sentido), a soma é uma única onda progressiva senoidal com a mesma forma \theta=kx-\omega t e amplitude/ fase resultantes dadas acima. Note que as amplitudes individuais não precisam ser iguais.

Passo 6

Analisando as alternativas do enunciado à luz do que vimos:\n
  • Alternativa (a): “as ondas têm a mesma frequência e se propagam no mesmo sentido.” Esta condição garante \omega_1=\omega_2 e que k_1 e k_2 têm o mesmo sinal; em um meio não-dispersivo isso implica k_1=k_2, portanto a soma é uma onda progressiva senoidal única (como demonstrado).\n
  • Alternativa (b): “mesma frequência e mesma amplitude.” A igualdade de amplitude não é necessária (nem suficiente) se as ondas não tiverem o mesmo sentido; amplitudes iguais sozinhas não garantem uma única onda progressiva.\n
  • Alternativa (c): “mesma amplitude e mesmo sentido.” Amplitude igual também não garante que as frequências sejam iguais; frequências diferentes impedem a soma de ser uma única senóide progressiva.\n
  • Alternativa (d): “mesma frequência e sentidos opostos.” Esse caso, em geral, não produz uma onda progressiva; quando amplitudes também forem iguais gera-se uma onda estacionária (standing wave), que não é uma onda progressiva.\n
  • Alternativa (e): “mesma amplitude e sentidos opostos.” Mesmo sentido oposto tende a gerar padrões estacionários (ou mistura não-progresso), não uma onda progressiva única.

Passo 7

Conclusão: a condição correta é que as ondas tenham a mesma frequência e se propaguem no mesmo sentido, que é a alternativa (a).

Resposta

(a)

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