A entropia de um dado sistema composto de
partículas é
onde
e
são constantes. Calcule
- o potencial químico.
onde
Passo 1
O enunciado fornece a entropia de um sistema de
partículas:
onde
e
são constantes. A pergunta é: calcular o potencial químico do sistema (ou seja,
).
Passo 2
Primeiro precisamos lembrar a relação termodinâmica que liga derivadas da entropia com temperatura
, pressão
e potencial químico
. A forma útil é:
Da última igualdade obtemos a fórmula prática para
:
Ou seja, primeiro vou calcular
para achar
, depois
e finalmente
.
Passo 3
Calcular
. Aqui a dependência em
está apenas em
. Aplicando a regra da cadeia:
Multiplicando pelo fator
, obtemos
Passo 4
Usar
para encontrar
:
Invertendo:
Aqui usei
.
Passo 5
Calcular
. A entropia é produto de
por
, então aplicamos a derivada na soma interna. Para
usamos regra da cadeia (derivada de
vezes derivada de
); para
é derivada simples:
E
Portanto
Passo 6
Agora usamos
. Substituindo
e a derivada que encontramos:
Cancelam
, ficando
Agora simplifico termo a termo. Note que
. Então o primeiro produto é
O segundo produto é
Somando os dois termos obtemos a expressão final para
: