A entropia de um dado sistema composto de N partículas é
S(U, V, N)=3 \alpha V^{2}\left[\tan \left(\frac{U}{N}\right)+\beta N\right],(1)
onde \alpha e \beta são constantes. Calcule
  • o potencial químico.

Passo 1

O enunciado fornece a entropia de um sistema de N partículas:
S(U,V,N)=3\alpha V^{2}\left[\tan\left(\frac{U}{N}\right)+\beta N\right],
onde \alpha e \beta são constantes. A pergunta é: calcular o potencial químico do sistema (ou seja, \mu).

Passo 2

Primeiro precisamos lembrar a relação termodinâmica que liga derivadas da entropia com temperatura T, pressão P e potencial químico \mu. A forma útil é:
\frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N},\qquad \frac{P}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial V}\right)_{U,N},\qquad -\frac{\mu}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}.
Da última igualdade obtemos a fórmula prática para \mu:
\mu = -T\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}.
Ou seja, primeiro vou calcular \left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N} para achar T, depois \left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V} e finalmente \mu.

Passo 3

Calcular \left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}. Aqui a dependência em U está apenas em \tan\!\left(\frac{U}{N}\right). Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial U}\tan\!\left(\frac{U}{N}\right)=\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)\cdot\frac{1}{N}.
Multiplicando pelo fator 3\alpha V^{2}, obtemos
\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N}=3\alpha V^{2}\cdot\frac{1}{N}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).

Passo 4

Usar \frac{1}{T}=\left(\frac{\partial S}{\partial U}\right)_{V,N} para encontrar T:
\frac{1}{T}=3\alpha V^{2}\cdot\frac{1}{N}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).
Invertendo:
T=\frac{N}{3\alpha V^{2}}\cos^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).
Aqui usei \operatorname{sec}^{2}x=1/\cos^{2}x.

Passo 5

Calcular \left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}. A entropia é produto de 3\alpha V^{2} por \tan\!\left(\frac{U}{N}\right)+\beta N, então aplicamos a derivada na soma interna. Para \tan\!\left(\frac{U}{N}\right) usamos regra da cadeia (derivada de \tan vezes derivada de U/N); para \beta N é derivada simples:
\frac{\partial}{\partial N}\tan\!\left(\frac{U}{N}\right) =\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)\cdot\left(-\frac{U}{N^{2}}\right) =-\frac{U}{N^{2}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).
E
\frac{\partial}{\partial N}(\beta N)=\beta.
Portanto
\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}=3\alpha V^{2}\left[-\frac{U}{N^{2}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)+\beta\right].

Passo 6

Agora usamos \mu=-T\left(\frac{\partial S}{\partial N}\right)_{U,V}. Substituindo T e a derivada que encontramos:
\mu = -\frac{N}{3\alpha V^{2}}\cos^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)\cdot 3\alpha V^{2}\left[-\frac{U}{N^{2}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)+\beta\right].
Cancelam 3\alpha V^{2}, ficando
\mu = -N\cos^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)\left[-\frac{U}{N^{2}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)+\beta\right].
Agora simplifico termo a termo. Note que \cos^{2}(\cdot)\operatorname{sec}^{2}(\cdot)=1. Então o primeiro produto é
-N\cos^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)\cdot\left(-\frac{U}{N^{2}}\operatorname{sec}^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)\right) = -N\cdot\left(-\frac{U}{N^{2}}\right)\cdot 1 = \frac{U}{N}.
O segundo produto é
- N\cos^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)\cdot\beta = -N\beta\cos^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).
Somando os dois termos obtemos a expressão final para \mu:
\mu=\frac{U}{N}-N\beta\cos^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right).

Resposta

\displaystyle \mu(U,V,N)=\frac{U}{N}-N\beta\cos^{2}\!\left(\frac{U}{N}\right)

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