Em uma certa região do espaço existe uma densidade de corrente uniforme de 15 A / m^{2} no sentido positivo de z. Determine o valor de \oint_{c} \vec{B} \cdot d \vec{l} quando a integral de linha é tomada ao longo dos seguintes segmentos retos de linha: 1 . de ( 0,0,0 ) para ( 4 d, 0,0 ); 2 . de ( 4 d, 0,0 ) para (4 d, 3 d, 0) ; 3. de (4 d, 3 d, 0) para (0,0,0), com d=20 c m. Todos os segmentos estão imersos na região de densidade de corrente uniforme mencionada anteriormente.

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule a integral de linha fechada \oint_{c} \vec{B}\cdot d\vec{l} ao longo de um caminho formado por três segmentos retos:
  1. de (0,0,0) para (4d,0,0);
  2. de (4d,0,0) para (4d,3d,0);
  3. de (4d,3d,0) para (0,0,0).
    Dados fornecidos: densidade de corrente uniforme \,J=15\\ \mathrm{A/m^{2}} no sentido positivo de z e d=20\\ \mathrm{cm}. Todos os segmentos estão imersos na região onde essa densidade existe.
    O que precisamos encontrar: o valor numérico de \oint_{c} \vec{B}\cdot d\vec{l} para o laço triangular descrito.

Passo 2

Qual a ideia física e a fórmula que vamos usar? Vamos aplicar a lei de Ampère (circuital) na forma para magnetostática:
\oint_{c} \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_{0}\,I_{\text{enc}},
onde:
  • \oint_{c} \vec{B}\cdot d\vec{l} é a integral de linha fechada do campo magnético ao longo do contorno c;
  • \mu_{0} é a permeabilidade do vácuo \mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m};
  • I_{\text{enc}} é a corrente total que atravessa qualquer superfície S cuja fronteira seja o contorno c (ou seja, a corrente “links” com o laço).
Por que podemos usar isso aqui? A densidade de corrente é estacionária e uniforme ao longo do eixo z, e o laço está no plano z=0. Basta calcular a corrente total que atravessa a superfície plana triangular contida em z=0 e limitada pelo contorno dado. Como a corrente atravessa perpendicularmente essa superfície (no sentido +z), temos:
I_{\text{enc}}=\int_{S} \vec{J}\cdot d\vec{S}=J\cdot A,
onde A é a área da superfície triangular (porque \vec{J} é uniforme e paralelo à normal da superfície).
Importante: a orientação do laço dada pela ordem dos pontos (0,0)\to(4d,0)\to(4d,3d)\to(0,0) é contraclockwise (sentido anti-horário) vista do eixo +z, logo a normal pela regra da mão direita aponta para +z. Como \vec{J} também é em +z, a corrente calculada será positiva no Ampère.

Passo 3

Calcular a área da superfície triangular. O triângulo tem vértices (0,0), (4d,0) e (4d,3d) no plano z=0. A base vale 4d e a altura relativa a essa base vale 3d. A área do triângulo é
A=\frac{1}{2}\times(\text{base})\times(\text{altura})=\frac{1}{2}\cdot 4d\cdot 3d=6d^{2}.
Agora substituímos d=20\\ \mathrm{cm}=0,20\\ \mathrm{m}. Então
d^{2}=(0,20\\ \mathrm{m})^{2}=0,04\\ \mathrm{m^{2}},
portanto
A=6\cdot 0,04\\ \mathrm{m^{2}}=0,24\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Calcular a corrente que atravessa a superfície:
I_{\text{enc}}=J\cdot A=15\\ \mathrm{A/m^{2}}\cdot 0,24\\ \mathrm{m^{2}}=3,6\\ \mathrm{A}.
Como explicado, o sinal é positivo porque \vec{J} aponta em +z e a orientação do laço dá normal também em +z.

Passo 5

Aplicar a lei de Ampère para obter a integral de linha:
\oint_{c} \vec{B}\cdot d\vec{l}=\mu_{0}\,I_{\text{enc}}=\mu_{0}\cdot 3,6\\ \mathrm{A}.
Usando \mu_{0}=4\pi\times 10^{-7}\\ \mathrm{H/m} obtemos
\oint_{c} \vec{B}\cdot d\vec{l}=4\pi\times 10^{-7}\cdot 3,6\\ \mathrm{T\cdot m}=1,44\pi\times 10^{-6}\\ \mathrm{T\cdot m}.
Valor aproximado numérico:
1,44\pi\times 10^{-6}\approx 4,52\times 10^{-6}\\ \mathrm{T\cdot m}.

Resposta

\displaystyle \oint_{c}\vec{B}\cdot d\vec{l}=1,44\pi\times 10^{-6}\\ \mathrm{T\cdot m}\approx 4,52\times 10^{-6}\\ \mathrm{T\cdot m}

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