Em uma certa região do espaço existe uma densidade de corrente uniforme de
no sentido positivo de
. Determine o valor de
quando a integral de linha é tomada ao longo dos seguintes segmentos retos de linha: 1 . de (
) para (
); 2 . de (
) para
. de
para
, com
. Todos os segmentos estão imersos na região de densidade de corrente uniforme mencionada anteriormente.
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule a integral de linha fechada
ao longo de um caminho formado por três segmentos retos:
- de
para ; - de
para ; - de
para .
Dados fornecidos: densidade de corrente uniformeno sentido positivo de e . Todos os segmentos estão imersos na região onde essa densidade existe.
O que precisamos encontrar: o valor numérico depara o laço triangular descrito.
Passo 2
Qual a ideia física e a fórmula que vamos usar? Vamos aplicar a lei de Ampère (circuital) na forma para magnetostática:
onde:
-
é a integral de linha fechada do campo magnético ao longo do contorno ; -
é a permeabilidade do vácuo ; -
é a corrente total que atravessa qualquer superfície cuja fronteira seja o contorno (ou seja, a corrente “links” com o laço).
Por que podemos usar isso aqui? A densidade de corrente é estacionária e uniforme ao longo do eixo
, e o laço está no plano
. Basta calcular a corrente total que atravessa a superfície plana triangular contida em
e limitada pelo contorno dado. Como a corrente atravessa perpendicularmente essa superfície (no sentido
), temos:
onde
é a área da superfície triangular (porque
é uniforme e paralelo à normal da superfície).
Importante: a orientação do laço dada pela ordem dos pontos
é contraclockwise (sentido anti-horário) vista do eixo
, logo a normal pela regra da mão direita aponta para
. Como
também é em
, a corrente calculada será positiva no Ampère.
Passo 3
Calcular a área da superfície triangular. O triângulo tem vértices
,
e
no plano
. A base vale
e a altura relativa a essa base vale
. A área do triângulo é
Agora substituímos
. Então
portanto
Passo 4
Calcular a corrente que atravessa a superfície:
Como explicado, o sinal é positivo porque
aponta em
e a orientação do laço dá normal também em
.
Passo 5
Aplicar a lei de Ampère para obter a integral de linha:
Usando
obtemos
Valor aproximado numérico: