Uma soma finita de Fourier é dada por
Mostre que os
-ésimos coeficientes são dados por
Passo 1
O enunciado nos dá uma soma finita de Fourier
definida em
. O objetivo é encontrar expressões para os coeficientes
e
usando a propriedade de ortogonalidade de
.
Passo 2
Multiplicamos
Pelas fórmulas de ortogonalidade temos, para inteiros
:
e também
Portanto só sobrevive o termo (k=m] do segundo somatório, e obtemos
Logo
Logo
Passo 3
De modo análogo, multiplicamos
por
e integramos:
Pelas mesmas propriedades de ortogonalidade vale
e os demais termos são nulos. Logo