verifique as seguintes relações, onde m, n \in \mathbb{N}.
\begin{aligned} & \int_{-\pi}^{\pi} \sin (m x) \cos (n x) d x=0 \\\ & \int_{-\pi}^{\pi} \sin (m x) \sin (n x) d x= \begin{cases}0, & \text { se } m \neq n \\\ \pi, & \text { se } m=n\end{cases} \\\ & \int_{-\pi}^{\pi} \cos (m x) \cos (n x) d x= \begin{cases}0, & \text { se } m \neq n \\\ \pi, & \text { se } m=n\end{cases} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para verificar as relações de ortogonalidade das funções \sin(mx) e \cos(nx) em [-\pi,\pi]. Vamos usar identidades de produto-soma e o fato de que as integrais de seno ou cosseno de múltiplos não-nulos sobre um intervalo simétrico são zero.

Passo 2

Para \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\cos(nx)\,dx usamos
\sin(mx)\cos(nx) =\tfrac12\bigl[\sin((m+n)x)+\sin((m-n)x)\bigr].
Portanto
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\cos(nx)\,dx =\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}\sin((m+n)x)\,dx +\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}\sin((m-n)x)\,dx.
Mas para qualquer inteiro k\neq0,
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\,dx =\bigl[-\tfrac{\cos(kx)}{k}\bigr]_{-\pi}^{\pi} =-\tfrac{\cos(k\pi)-\cos(-k\pi)}{k}=0.
Logo a integral é zero.

Passo 3

Para \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx usamos
\sin(mx)\sin(nx) =\tfrac12\bigl[\cos((m-n)x)-\cos((m+n)x)\bigr].
Assim
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx =\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos((m-n)x)\,dx -\tfrac12\int_{-\pi}^{\pi}\cos((m+n)x)\,dx.
Se m\neqn, então m-n\neq0 e m+n\neq0, e cada integral de \cos(kx) com k\neq0 sobre [-\pi,\pi] vale zero.
Se m=n, então
\sin^2(mx) =\tfrac{1-\cos(2mx)}{2}
e
\int_{-\pi}^{\pi}\sin^2(mx)\,dx =\int_{-\pi}^{\pi}\tfrac{1}{2}\,dx -\int_{-\pi}^{\pi}\tfrac{\cos(2mx)}{2}\,dx =\pi-0=\pi.

Passo 4

Para \displaystyle \int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx usamos
\cos(mx)\cos(nx) =\tfrac12\bigl[\cos((m-n)x)+\cos((m+n)x)\bigr].
Analogamente ao caso anterior, se m\neqn então ambas as integrais de \cos(kx) para k\neq0 em [-\pi,\pi] são zero.
Se m=n,
\cos^2(mx) =\tfrac{1+\cos(2mx)}{2}
e
\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2(mx)\,dx =\int_{-\pi}^{\pi}\tfrac{1}{2}\,dx +\int_{-\pi}^{\pi}\tfrac{\cos(2mx)}{2}\,dx =\pi+0=\pi.

Resposta

\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\cos(nx)\,dx=0,
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(mx)\sin(nx)\,dx= \begin{cases} 0,&m\neq n,\\\ \pi,&m=n, \end{cases}
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\cos(nx)\,dx= \begin{cases} 0,&m\neq n,\\\ \pi,&m=n. \end{cases}

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