Uma soma finita de Fourier é dada por
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n} a_{k} \cos (k x)+b_{k} \sin (k x)
Mostre que os m-ésimos coeficientes são dados por
a_{m}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos (m x) d x, \quad b_{m}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin (m x) d x

Passo 1

O enunciado nos dá uma soma finita de Fourier
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{k=1}^{n}a_{k}\cos(kx)+b_{k}\sin(kx)
definida em -\pi\le x\le\pi. O objetivo é encontrar expressões para os coeficientes a_{m} e b_{m} usando a propriedade de ortogonalidade de \{\cos(kx),\sin(kx)\}.

Passo 2

Multiplicamos f(x)\) por \(\cos(mx)\) e integramos de \(-\pi\) a \(\pi\): \[\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)\,dx =\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_{0}}{2}\cos(mx)\,dx +\sum_{k=1}^{n}a_{k}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(mx)\,dx +\sum_{k=1}^{n}b_{k}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\cos(mx)\,dx.
Pelas fórmulas de ortogonalidade temos, para inteiros k,m\ge1:
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\cos(mx)\,dx =\begin{cases} 0,&k\neq m,\\\ \pi,&k = m, \end{cases} \qquad \int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\cos(mx)\,dx=0,
e também
\int_{-\pi}^{\pi}\cos(mx)\,dx=0\quad(\text{para }m\ge1).
Portanto só sobrevive o termo (k=m] do segundo somatório, e obtemos
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)\,dx =a_{m}\,\pi.
Logo
a_{m} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)\,dx.

Passo 3

De modo análogo, multiplicamos f(x) por \sin(mx) e integramos:
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)\,dx =\int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_{0}}{2}\sin(mx)\,dx +\sum_{k=1}^{n}a_{k}\int_{-\pi}^{\pi}\cos(kx)\sin(mx)\,dx +\sum_{k=1}^{n}b_{k}\int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(mx)\,dx.
Pelas mesmas propriedades de ortogonalidade vale
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(kx)\sin(mx)\,dx =\begin{cases} 0,&k\neq m,\\\ \pi,&k = m, \end{cases}
e os demais termos são nulos. Logo
\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)\,dx =b_{m}\,\pi \quad\Longrightarrow\quad b_{m} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)\,dx.

Resposta

a_{m} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(mx)\,dx, \qquad b_{m} =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(mx)\,dx.

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