Uma senha é formada por 4 algarismos distintos.
Calcule as probabilidades dos seguintes eventos:
a) A: a senha é um número par
b) B : a senha começa com o número 7
c) A \cap B
d) A \cup B

Passo 1

O enunciado pede as probabilidades de três eventos sobre senhas formadas por 4 algarismos distintos de 0 a 9. Vamos modelar isso por permutações sem repetição e usar contagem para calcular cada probabilidade.

Passo 2

Contamos primeiro o total de senhas possíveis, que é a permutação de 10 dígitos tomados 4 a 4:
N = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040.

Passo 3

Queremos A: a senha é um número par, isto é, o último dígito é par.
Escolhemos o último dígito entre os 5 pares \{0,2,4,6,8\} e, em seguida, preenchemos as três primeiras posições com os 9 dígitos restantes, sem repetição:
\lvert A\rvert = 5 \times 9 \times 8 \times 7 = 2520,
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P(A) = \frac{2520}{5040} = \frac{1}{2}.

Passo 4

Queremos B: a senha começa com o número 7.
Fixamos o primeiro dígito como 7 e permutamos os outros 3 dígitos nos 9 restantes:
\lvert B\rvert = 1 \times 9 \times 8 \times 7 = 504,
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P(B) = \frac{504}{5040} = \frac{1}{10}.

Passo 5

Agora A\cap B: a senha começa com 7 e termina em par.
Primeiro dígito é 7; último dígito, um dos 5 pares (todos distintos de 7); e as duas posições do meio são preenchidas com permutações dos 8 dígitos restantes:
\lvert A\cap B\rvert = 1 \times 5 \times 8 \times 7 = 280,
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P(A\cap B) = \frac{280}{5040} = \frac{1}{18}.

Passo 6

Por fim, P(A\cup B) vem da fórmula da união:
P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} - \frac{1}{18} = \frac{49}{90}.

Resposta

a) P(A)=\tfrac{1}{2}
b) P(B)=\tfrac{1}{10}
c) P(A\cap B)=\tfrac{1}{18}
d) P(A\cup B)=\tfrac{49}{90}

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