A soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética é dada por S_{n}=3 n 2-20 n.
(a) Determine a razão dessa progressão.
(b) Qual é o último termo negativo dessa progressão?

Passo 1

O enunciado nos dá a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética:
S_{n} = 3n^{2} - 20n
e pede
(a) a razão dessa progressão,
(b) o último termo negativo dessa progressão.
Para isso vamos usar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA:
S_{n} = n\,a_{1} + \frac{n(n-1)}{2}\,d.

Passo 2

Comparando
3n^{2} - 20n = n\,a_{1} + \frac{n(n-1)}{2}\,d
reorganizamos o segundo lado como
\frac{d}{2}\,n^{2} +\Bigl(a_{1}-\frac{d}{2}\Bigr)n.
Igualando coeficientes de n^{2} e de n obtemos
\frac{d}{2} = 3 \quad\Longrightarrow\quad d = 6,
a_{1} - \frac{d}{2} = -20 \quad\Longrightarrow\quad a_{1} - 3 = -20 \quad\Longrightarrow\quad a_{1} = -17.

Passo 3

O n-ésimo termo da progressão é
a_{n} = a_{1} + (n-1)d = -17 + 6(n-1) = 6n - 23.
Para encontrar o último termo negativo resolvemos
6n - 23 < 0 \quad\Longrightarrow\quad n < \frac{23}{6}\approx 3{,}83.
O maior n inteiro que satisfaz isso é n=3, e
a_{3} = 6\cdot 3 - 23 = 18 - 23 = -5.

Resposta

(a) d = 6
(b) -5

Exercícios relacionados