Exerc. 1 Algumas das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo, podem ser classificadas em mais de uma categoria. Classifique cada uma das EDOs abaixo e determine uma solução.
\omega^{\prime}=-\frac{1}{x} \omega+x^{3}.

Passo 1

O enunciado dá a equação
\omega'(x) = -\frac{1}{x}\,\omega(x) + x^{3},
que é uma EDO ordinária de primeira ordem. Para resolvê-la precisamos reconhecer que se trata de uma equação linear não homogênea do tipo
\omega'(x) + P(x)\,\omega(x) = Q(x),
com P(x)=\tfrac{1}{x} e Q(x)=x^3. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Classificações possíveis para
\omega' + \frac{1}{x}\,\omega = x^3
  • EDO ordinária de primeira ordem;
  • Equação linear em \omega;
  • Não homogênea (pois Q(x)\neq 0);
  • Não é separável diretamente, mas torna-se exata após usar fator integrante.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) vem de
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \tfrac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(\ln|x|) = |x|.
Para simplicidade consideramos x\neq0 e tomamos \mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicando a EDO por x obtemos
x\,\omega' + \omega = x^4.
Repare que o lado esquerdo é a derivada de um produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x\,\omega\bigr) = x\,\omega' + \omega.
Logo a equação fica
\frac{d}{dx}\bigl(x\,\omega\bigr) = x^4.

Passo 5

Integramos ambos os lados em x:
x\,\omega = \int x^4\,dx = \frac{x^5}{5} + C,
onde C é constante de integração. Assim
\omega(x) = \frac{x^5}{5\,x} + \frac{C}{x} = \frac{x^4}{5} + \frac{C}{x}.

Resposta

\boxed{\omega(x) = \frac{x^4}{5} + \frac{C}{x},\quad x\neq 0.}

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