Exerc. 1 Algumas das equações diferenciais ordinárias de primeira ordem abaixo, podem ser classificadas em mais de uma categoria. Classifique cada uma das EDOs abaixo e determine uma solução.
x^{2} \omega^{\prime}=(1+x)(1+\omega).

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial ordinária de primeira ordem
x^{2}\,\frac{d\omega}{dx} = (1+x)\,(1+\omega).
O conteúdo aqui é resolução de EDOs de primeira ordem, que podem ser classificadas como separáveis ou lineares. Vamos mostrar ambas as classificações e, em seguida, resolver por separação de variáveis.

Passo 2

Para classificar, escrevemos em forma padrão:
\frac{d\omega}{dx} = \frac{1+x}{x^{2}} + \frac{1+x}{x^{2}}\,\omega.
Isso mostra que é uma EDO linear não homogênea do tipo
\frac{d\omega}{dx} - p(x)\,\omega = q(x),
com
p(x) = -\frac{1+x}{x^{2}},\quad q(x)=\frac{1+x}{x^{2}}.
Também notamos que é separável, pois podemos agrupar \omega de um lado e x do outro.

Passo 3

Fazendo separação de variáveis, dividimos por (1+\omega)\,x^{2} e obtemos
\frac{d\omega}{1+\omega} \;=\;\frac{1+x}{x^{2}}\,dx \;=\;\Bigl(\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}\Bigr)\,dx.
Integramos ambos os lados:
\int \frac{d\omega}{1+\omega} = \int \Bigl(x^{-2}+x^{-1}\Bigr)\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|1+\omega\bigr| = -\frac{1}{x} + \ln\bigl|x\bigr| + C.

Passo 4

Exponenciando a igualdade anterior, definindo K = e^{C}, vem
1+\omega = K\,x\,e^{-1/x} \quad\Longrightarrow\quad \omega(x) = K\,x\,e^{-1/x} - 1.

Resposta

\displaystyle \omega(x) = C\,x\,e^{-1/x} - 1, onde C é constante de integração.

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