A soma das raízes da equação
é igual a:
a) 0
b) 1
c) -4
d) 4
e) nda
a) 0
b) 1
c) -4
d) 4
e) nda
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pergunta: qual é a soma das raízes dessa equação?
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes do polinômio são, em ordem decrescente de grau,
(observe que o termo constante é
porque não há termo independente escrito). As alternativas são: (a)
, (b)
, (c)
, (d)
, (e) nda.
Passo 2
Primeira observação prática: o polinômio tem fator comum
em todos os termos (pois todos os termos possuem um fator
). Isso significa que podemos fatorar
e reduzir o grau para facilitar encontrar as raízes. Fazer isso é simplesmente aplicar a propriedade distributiva (tirar o fator comum). Assim:
Isso mostra já uma raiz imediata: se um produto é zero, então pelo menos um dos fatores é zero; portanto uma raiz é
.
Passo 3
Agora precisamos achar as raízes do polinômio cúbico
. Uma técnica simples e rápida na prova é testar raízes inteiras possíveis que dividam o termo constante. O termo constante desse cúbico é
, então possíveis raízes inteiras (segundo o teste de raízes racionais simples) são
. Vamos testar
:
Como o valor é zero,
é raiz do cúbico, logo
é um fator.
Passo 4
Para dividir o cúbico por
e obter o fator quadrático restante, uso divisão sintética (que é um jeito rápido de dividir por
). Coloco os coeficientes do cúbico:
e uso
.
Procedimento (síntese):
- Trago o
(primeiro coeficiente) para baixo. - Multiplico
por e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
por e somo ao próximo coeficiente: . - Multiplico
por e somo ao próximo coeficiente: (resto zero, confirmando divisão exata).
Logo o quociente é o polinômio quadrático com coeficientes
, isto é,
Passo 5
Agora fatoro o quadrático
como diferença de quadrados:
Reunindo todos os fatores que achamos, o polinômio original fatorado é
Portanto as raízes (todas) são
.
Passo 6
Agora calculo a soma das raízes somando esses valores um a um:
Como checagem alternativa (útil na prova): pela fórmula de Viète para um polinômio
, a soma das raízes (contadas com multiplicidade) é
. Aqui
e
, então a soma é
, concordando com o cálculo direto.
Resposta
(b)