A soma das raízes da equação x^{4}-x^{3}-4 x^{2}+4 x=0 é igual a:
a) 0
b) 1
c) -4
d) 4
e) nda

Passo 1

O enunciado dá o polinômio x^{4}-x^{3}-4x^{2}+4x=0 e pergunta: qual é a soma das raízes dessa equação?
Informações relevantes fornecidas: os coeficientes do polinômio são, em ordem decrescente de grau, \;1,\;-1,\;-4,\;4,\;0 (observe que o termo constante é \;0 porque não há termo independente escrito). As alternativas são: (a) \;0, (b) \;1, (c) -4, (d) \;4, (e) nda.

Passo 2

Primeira observação prática: o polinômio tem fator comum \;x em todos os termos (pois todos os termos possuem um fator \;x). Isso significa que podemos fatorar \;x e reduzir o grau para facilitar encontrar as raízes. Fazer isso é simplesmente aplicar a propriedade distributiva (tirar o fator comum). Assim:
x^{4}-x^{3}-4x^{2}+4x = x\big(x^{3}-x^{2}-4x+4\big).
Isso mostra já uma raiz imediata: se um produto é zero, então pelo menos um dos fatores é zero; portanto uma raiz é \;x=0.

Passo 3

Agora precisamos achar as raízes do polinômio cúbico \;x^{3}-x^{2}-4x+4. Uma técnica simples e rápida na prova é testar raízes inteiras possíveis que dividam o termo constante. O termo constante desse cúbico é \;4, então possíveis raízes inteiras (segundo o teste de raízes racionais simples) são \pm1,\pm2,\pm4. Vamos testar \;x=1:
1^{3}-1^{2}-4\cdot1+4 = 1-1-4+4 = 0.
Como o valor é zero, \;x=1 é raiz do cúbico, logo \;(x-1) é um fator.

Passo 4

Para dividir o cúbico por (x-1) e obter o fator quadrático restante, uso divisão sintética (que é um jeito rápido de dividir por (x-c)). Coloco os coeficientes do cúbico: 1,\,-1,\,-4,\,4 e uso c=1.
Procedimento (síntese):
  • Trago o 1 (primeiro coeficiente) para baixo.
  • Multiplico 1 por c=1 e somo ao próximo coeficiente: -1 + 1 = 0.
  • Multiplico 0 por 1 e somo ao próximo coeficiente: -4 + 0 = -4.
  • Multiplico -4 por 1 e somo ao próximo coeficiente: 4 + (-4) = 0 (resto zero, confirmando divisão exata).
Logo o quociente é o polinômio quadrático com coeficientes 1,\;0,\;-4, isto é,
x^{3}-x^{2}-4x+4 = (x-1)\big(x^{2}+0\cdot x-4\big) = (x-1)(x^{2}-4).

Passo 5

Agora fatoro o quadrático \;x^{2}-4 como diferença de quadrados:
x^{2}-4 = (x-2)(x+2).
Reunindo todos os fatores que achamos, o polinômio original fatorado é
x^{4}-x^{3}-4x^{2}+4x = x\,(x-1)(x-2)(x+2).
Portanto as raízes (todas) são \;x=0,\;x=1,\;x=2,\;x=-2.

Passo 6

Agora calculo a soma das raízes somando esses valores um a um:
0 + 1 + 2 + (-2) = 1.
Como checagem alternativa (útil na prova): pela fórmula de Viète para um polinômio \;a_4 x^4 + a_3 x^3 + \dots =0, a soma das raízes (contadas com multiplicidade) é -\dfrac{a_3}{a_4}. Aqui \;a_4=1 e \;a_3=-1, então a soma é -\dfrac{-1}{1}=1, concordando com o cálculo direto.

Resposta

(b) 1

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