A divisão do polinômio P(x) pelo polinômio D(x)=x^{2}+2 x-5 gera como quociente o polinômio \mathrm{Q}(\mathrm{x})=3 \mathrm{x}-1 e o resto \mathrm{R}(\mathrm{x})=5 \mathrm{x}+2. Então, o polinômio \mathrm{P}(\mathrm{x}) é:
a) P(x)=3 x^{3}+5 x^{2}-12 x+5
b) P(x)=x^{3}+5 x^{2}-17 x+5
c) P(x)=3 x^{3}+6 x^{2}-15 x+7
d) P(x)=2 x^{3}-4 x^{2}+12 x+7
e) P(x)=3 x^{3}+5 x^{2}-12 x+7

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para encontrar o polinômio P(x):
  • Divisor: D(x)=x^{2}+2x-5.
  • Quociente da divisão: Q(x)=3x-1.
  • Resto da divisão: R(x)=5x+2.
  • Pergunta: qual é o polinômio P(x) que, ao ser dividido por D(x), tem esse quociente e esse resto? Há cinco alternativas (a) a (e) entre as quais devemos escolher a correta.

Passo 2

Princípio básico (fórmula da divisão de polinômios): quando um polinômio P(x) é dividido por um polinômio D(x) obtemos um quociente Q(x) e um resto R(x) que satisfazem a igualdade
P(x)=D(x)\cdot Q(x)+R(x).
Explicando: D(x) é o polinômio divisor, Q(x) é o polinômio quociente e R(x) é o resto; aqui R(x) tem grau menor do que o grau de D(x). No nosso caso o grau de D(x) é 2, e o grau de R(x)=5x+2 é 1, portanto é compatível (o resto tem grau menor que o divisor).

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula diretamente com os polinômios dados, ou seja:
P(x)=(x^{2}+2x-5)\cdot(3x-1)+(5x+2).
Agora vamos calcular passo a passo o produto (x^{2}+2x-5)\cdot(3x-1) e depois somar o resto.

Passo 4

Multiplicação termo a termo (distribuição): multiplicamos cada termo de x^{2}+2x-5 por cada termo de 3x-1.
Primeiro, x^{2} vezes 3x-1:
x^{2}\cdot(3x-1)=3x^{3}-x^{2}.
Segundo, 2x vezes 3x-1:
2x\cdot(3x-1)=6x^{2}-2x.
Terceiro, -5 vezes 3x-1:
-5\cdot(3x-1)=-15x+5.

Passo 5

Agora somamos os três resultados parciais para obter o produto completo:
(3x^{3}-x^{2})+(6x^{2}-2x)+(-15x+5).
Agrupando termos semelhantes (mesmo grau de x):
  • Coeficiente de x^{3}: 3, portanto 3x^{3}.
  • Coeficiente de x^{2}: -1+6=5, portanto 5x^{2}.
  • Coeficiente de x: -2-15=-17, portanto -17x.
  • Termo constante: 5.
Logo o produto é
(x^{2}+2x-5)(3x-1)=3x^{3}+5x^{2}-17x+5.

Passo 6

Finalmente somamos o resto R(x)=5x+2 ao produto obtido para achar P(x):
P(x)=\bigl(3x^{3}+5x^{2}-17x+5\bigr)+(5x+2).
Somando termos semelhantes:
  • Coeficiente de x^{3}: 3 3x^{3}.
  • Coeficiente de x^{2}: 5 5x^{2}.
  • Coeficiente de x: -17+5=-12 -12x.
  • Constante: 5+2=7.
Portanto
P(x)=3x^{3}+5x^{2}-12x+7.

Passo 7

Agora comparamos com as alternativas fornecidas: isso corresponde exatamente à alternativa (e).

Resposta

e) P(x)=3x^{3}+5x^{2}-12x+7

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