A divisão do polinômio
pelo polinômio
gera como quociente
polinômio
e o resto
. Então, o polinômio
é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para encontrar o polinômio
:
- Divisor:
. - Quociente da divisão:
. - Resto da divisão:
. - Pergunta: qual é o polinômio
que, ao ser dividido por , tem esse quociente e esse resto? Há cinco alternativas (a) a (e) entre as quais devemos escolher a correta.
Passo 2
Princípio básico (fórmula da divisão de polinômios): quando um polinômio
é dividido por um polinômio
obtemos um quociente
e um resto
que satisfazem a igualdade
Explicando:
é o polinômio divisor,
é o polinômio quociente e
é o resto; aqui
tem grau menor do que o grau de
. No nosso caso o grau de
é
, e o grau de
é
, portanto é compatível (o resto tem grau menor que o divisor).
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula diretamente com os polinômios dados, ou seja:
Agora vamos calcular passo a passo o produto
e depois somar o resto.
Passo 4
Multiplicação termo a termo (distribuição): multiplicamos cada termo de
por cada termo de
.
Primeiro,
vezes
:
Segundo,
vezes
:
Terceiro,
vezes
:
Passo 5
Agora somamos os três resultados parciais para obter o produto completo:
Agrupando termos semelhantes (mesmo grau de
):
- Coeficiente de
: , portanto . - Coeficiente de
: , portanto . - Coeficiente de
: , portanto . - Termo constante:
.
Logo o produto é
Passo 6
Finalmente somamos o resto
ao produto obtido para achar
:
Somando termos semelhantes:
- Coeficiente de
: → . - Coeficiente de
: → . - Coeficiente de
: → . - Constante:
.
Portanto
Passo 7
Agora comparamos com as alternativas fornecidas: isso corresponde exatamente à alternativa (e).
Resposta
e)