Dados os polinômios p , q e r de graus 2,4 e 5 , respectivamente, é verdade que o grau de
:
a) não pode ser determinados;
b) pode ser igual a 2;
c) pode ser igual a 4;
d) pode ser menor que 5 ;
e) é igual a 5;
a) não pode ser determinados;
b) pode ser igual a 2;
c) pode ser igual a 4;
d) pode ser menor que 5 ;
e) é igual a 5;
Passo 1
O enunciado dá que existem polinômios
,
e
com graus
e
, respectivamente. A pergunta é qual das alternativas abaixo é verdadeira sobre o grau de
:
a) não pode ser determinado;
b) pode ser igual a ;
c) pode ser igual a ;
d) pode ser menor que ;
e) é igual a .
a) não pode ser determinado;
b) pode ser igual a
c) pode ser igual a
d) pode ser menor que
e) é igual a
Informações relevantes dadas: os graus de
,
e
são exatamente
e
, ou seja, cada um tem coeficiente líder diferente de zero no seu grau indicado.
Passo 2
O que significa “grau” de um polinômio e “coeficiente líder”. Vou explicar devagarinho como se estivéssemos juntos na prova.
Definição de grau: o grau de um polinômio é o maior expoente de
que aparece com coeficiente diferente de zero.
Definição de coeficiente líder: o coeficiente que multiplica o termo de maior grau. Se um polinômio tem grau , escrevemos o termo líder como
com
.
Definição de coeficiente líder: o coeficiente que multiplica o termo de maior grau. Se um polinômio tem grau
Exemplo rápido: se
, o grau de
é
e o coeficiente líder é
.
Passo 3
Regra sobre soma de polinômios (coisa essencial para a prova): se você soma polinômios, o grau da soma é no máximo o maior dos graus dos somandos. Em símbolos,
Geralmente o grau da soma é exatamente esse máximo, exceto se ocorrer um cancelamento no termo de maior grau: isto é, se os coeficientes líderes dos polinômios de maior grau somarem zero.
Mais explicitamente: suponha que o maior grau entre os três seja
. Cada polinômio pode ter um termo
(com coeficiente
possivelmente zero). O coeficiente que fica em
na soma é a soma desses
. Se essa soma for zero, o termo
desaparece e o grau da soma será menor que
; se a soma não for zero, o grau da soma é
.
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: os graus são
,
e
. O maior grau é
, portanto
Para que
fosse menor que
, o termo em
teria que desaparecer por cancelamento. Vamos olhar o termo em
de cada polinômio.
Como
, podemos escrever o termo líder de
como
com
.
Como , o polinômio
não tem termo em
; seu coeficiente de
é
.
Como , o polinômio
também não tem termo em
; seu coeficiente de
é
.
Como
Como
Logo, o coeficiente do termo
em
é simplesmente
. Como
, esse coeficiente não se anula.
Passo 5
Conclusão lógica imediata: o termo em
permanece na soma, com coeficiente
. Portanto o grau de
é exatamente
, não pode ser menor. Isso elimina as opções que dizem que o grau pode ser
, pode ser
, pode ser menor que
ou que não pode ser determinado.
Para deixar mais concreto, um exemplo que satisfaz as hipóteses e mostra o grau
: escolha
Então
que tem grau
. Este exemplo é compatível com os graus dados e confirma que o grau da soma pode (e neste caso deve) ser
.
Passo 6
Comentário final de ânimo: a ideia-chave para a prova é entender que um polinômio de grau menor não pode “cancelar” o termo de maior grau de outro polinômio — só outro polinômio com o mesmo grau pode cancelar esse termo. Aqui só
tem grau
, então o termo
fica e a soma tem grau
.
Resposta
(e)