Dados os polinômios p , q e r de graus 2,4 e 5 , respectivamente, é verdade que o grau de p+q+r :
a) não pode ser determinados;
b) pode ser igual a 2;
c) pode ser igual a 4;
d) pode ser menor que 5 ;
e) é igual a 5;

Passo 1

O enunciado dá que existem polinômios p, q e r com graus \,2,\,4 e \,5, respectivamente. A pergunta é qual das alternativas abaixo é verdadeira sobre o grau de p+q+r:
a) não pode ser determinado;
b) pode ser igual a 2;
c) pode ser igual a 4;
d) pode ser menor que 5;
e) é igual a 5.
Informações relevantes dadas: os graus de p, q e r são exatamente \,2,\,4 e \,5, ou seja, cada um tem coeficiente líder diferente de zero no seu grau indicado.

Passo 2

O que significa “grau” de um polinômio e “coeficiente líder”. Vou explicar devagarinho como se estivéssemos juntos na prova.
Definição de grau: o grau de um polinômio é o maior expoente de x que aparece com coeficiente diferente de zero.
Definição de coeficiente líder: o coeficiente que multiplica o termo de maior grau. Se um polinômio tem grau n, escrevemos o termo líder como a_n x^n com a_n\neq 0.
Exemplo rápido: se s(x)=3x^4-2x^2+1, o grau de s é 4 e o coeficiente líder é 3.

Passo 3

Regra sobre soma de polinômios (coisa essencial para a prova): se você soma polinômios, o grau da soma é no máximo o maior dos graus dos somandos. Em símbolos,
\deg(p+q+r)\le \max\{\deg p,\deg q,\deg r\}.
Geralmente o grau da soma é exatamente esse máximo, exceto se ocorrer um cancelamento no termo de maior grau: isto é, se os coeficientes líderes dos polinômios de maior grau somarem zero.
Mais explicitamente: suponha que o maior grau entre os três seja m. Cada polinômio pode ter um termo c x^m (com coeficiente c possivelmente zero). O coeficiente que fica em x^m na soma é a soma desses c. Se essa soma for zero, o termo x^m desaparece e o grau da soma será menor que m; se a soma não for zero, o grau da soma é m.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: os graus são \deg p=2, \deg q=4 e \deg r=5. O maior grau é 5, portanto
\deg(p+q+r)\le 5.
Para que \deg(p+q+r) fosse menor que 5, o termo em x^5 teria que desaparecer por cancelamento. Vamos olhar o termo em x^5 de cada polinômio.
Como \deg r=5, podemos escrever o termo líder de r como a_5 x^5 com a_5\neq 0.
Como \deg q=4, o polinômio q não tem termo em x^5; seu coeficiente de x^5 é 0.
Como \deg p=2, o polinômio p também não tem termo em x^5; seu coeficiente de x^5 é 0.
Logo, o coeficiente do termo x^5 em p+q+r é simplesmente 0+0+a_5=a_5. Como a_5\neq 0, esse coeficiente não se anula.

Passo 5

Conclusão lógica imediata: o termo em x^5 permanece na soma, com coeficiente a_5\neq 0. Portanto o grau de p+q+r é exatamente 5, não pode ser menor. Isso elimina as opções que dizem que o grau pode ser 2, pode ser 4, pode ser menor que 5 ou que não pode ser determinado.
Para deixar mais concreto, um exemplo que satisfaz as hipóteses e mostra o grau 5: escolha
r(x)=x^5,\qquad q(x)=x^4,\qquad p(x)=x^2.
Então
p(x)+q(x)+r(x)=x^5+x^4+x^2,
que tem grau 5. Este exemplo é compatível com os graus dados e confirma que o grau da soma pode (e neste caso deve) ser 5.

Passo 6

Comentário final de ânimo: a ideia-chave para a prova é entender que um polinômio de grau menor não pode “cancelar” o termo de maior grau de outro polinômio — só outro polinômio com o mesmo grau pode cancelar esse termo. Aqui só r tem grau 5, então o termo x^5 fica e a soma tem grau 5.

Resposta

(e)

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