A sphere of radius
contains volume charge of uniform density
. Find the total stored energy by applying
Eq.
Eq.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Temos uma esfera de raio
com carga volumétrica uniforme
. Queremos achar a energia total armazenada no campo elétrico usando
Então a matéria envolvida é eletrostática: lei de Gauss para achar
1) Gauss para achar
2) A definição
Passo 2
Primeiro vamos achar o campo elétrico usando a lei de Gauss. Lembra que, pra densidade volumétrica uniforme, a carga total contida em um raio
é
Pela lei de Gauss:
$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\rm int}®}{\epsilon_{0}}
\quad\Longrightarrow\quad
E®,4\pi r^{2}=\frac{\rho_{0},4\pi r^{3}/3}{\epsilon_{0}}
E®,4\pi r^{2}=\frac{\rho_{0},4\pi r^{3}/3}{\epsilon_{0}}
,.
E_{\rm in}®=\frac{\rho_{0},r}{3\epsilon_{0}},. $$
E para fora,
, a carga total é
, então
Passo 3
Agora a energia total:
Vamos calcular cada integral separadamente.
Passo 4
Integral dentro (
):
E²in = .
Então
E²in =
Então
Passo 5
Integral fora (
):
E²out = .
Então
E²out =
Então
Passo 6
Basta somar:
Resposta
A energia total armazenada no campo elétrico é