A sphere of radius a contains volume charge of uniform density rho0 C / m^3. Find the total stored energy by applying
Eq. WE=12 integralvol D cdot E d v=12 integralvol epsilon0 E^2 d v

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Temos uma esfera de raio a com carga volumétrica uniforme rho0. Queremos achar a energia total armazenada no campo elétrico usando
WE ;=;12integral epsilon0E^2,dv,
Então a matéria envolvida é eletrostática: lei de Gauss para achar E(r) e depois cálculo de energia do campo. Vamos precisar de:
1) Gauss para achar E(r) dentro e fora da esfera.
2) A definição WE=epsilon02integral E^2,dv, quebrando em dois pedaços (0→a e a→∞).

Passo 2

Primeiro vamos achar o campo elétrico usando a lei de Gauss. Lembra que, pra densidade volumétrica uniforme, a carga total contida em um raio r é
Qrm int(r)=rho0,4pi r^33,
Pela lei de Gauss:
$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\rm int}®}{\epsilon_{0}}
\quad\Longrightarrow\quad
E®,4\pi r^{2}=\frac{\rho_{0},4\pi r^{3}/3}{\epsilon_{0}}
,. oint Ecdot dA = Qrm int(r)epsilon0 Longrightarrow E(r),4pi r^2=rho0,4pi r^3/3epsilon0 , E_{\rm in}®=\frac{\rho_{0},r}{3\epsilon_{0}},. $$
E para fora, r, a carga total é Erm in(r)=rho0,r3epsilon0, , então
r>a

Passo 3

Agora a energia total:
W=epsilon02integral0^inftyE^2(r),4pi r^2dr =epsilon02[integral0^aErm in^24pi r^2dr +integrala^inftyErm out^24pi r^2dr],
Vamos calcular cada integral separadamente.

Passo 4

Integral dentro ( 0to a):
E²in = l(tfracrho0r3epsilon0r)^2=tfracrho0^2r^29epsilon0^2.
Então
Wrm in =epsilon02integral0^arho0^2r^29epsilon0^2,4pi r^2dr =2pirho0^29epsilon0integral0^ar^4dr =2pirho0^29epsilon0;a^55 =2pirho0^2a^545epsilon0,

Passo 5

Integral fora ( atoinfty):
E²out = l(tfracrho0a^33epsilon0r^2r)^2 =tfracrho0^2a^69epsilon0^2r^4.
Então
Wrm out =epsilon02integrala^inftyrho0^2a^69epsilon0^2r^4,4pi r^2dr =2pirho0^2a^69epsilon0integrala^inftydrr^2 =2pirho0^2a^69epsilon0;1a =2pirho0^2a^59epsilon0,

Passo 6

Basta somar:
W=Wrm in+Wrm out =2pirho0^2a^545epsilon0 +2pirho0^2a^59epsilon0 =2pirho0^2a^545epsilon0l(1+5r) =12pirho0^2a^545epsilon0 =4pirho0^2a^515epsilon0,

Resposta

A energia total armazenada no campo elétrico é
boxedW=4pi,rho0^2,a^515,epsilon0,

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