Two identical conducting plates, each having area A, are located at z=0 and z=d. The region between plates is filled with a material having z-dependent conductivity, sigma(z)=sigma0 e^-z / d, where sigma0 is a constant. Voltage V0 is applied to the plate at z=d; the plate at z=0 is at zero potential. Find, in terms of the given parameters:
the resistance of the material: We start with the differential resistance of a thin slab of the material of thickness d z, which is

Passo 1

Beleza, aí vai o resumo do problema e o que precisamos. A gente tem duas placas paralelas com área sigma(z)=sigma0e^-z/d, , uma em dR = dzsigma(z),A e outra em . Entre elas há um material cuja condutividade varia conforme
A placa em recebe tensão e a outra em tá no zero. O que queremos é a resistência total desse “bloco” de material.
Matéria envolvida: condução elétrica (relação entre condutividade e resistência), cálculo de integrais. Vamos usar a fórmula elemental
e depois integrar de a .

Passo 2

Primeiro, lembra que a condutividade dR = rho,dzA = 1sigma(z)dzA, é inversa da resistividade dR = 1sigma0e^-z/d;dzA = e^z/dsigma0A,dz , e pra uma fatia fininha de espessura e área a resistência é
Como , basta substituir:

Passo 3

Agora somamos (integral) todas essas fatias de R = integral0^d dR = integral0^d e^z/dsigma0A,dz = 1sigma0Aintegral0^d e^z/d,dz até integral e^z/ddz = d,e^z/d :
R = 1sigma0Al[d,e^z/dr]0^d = dsigma0Al(e^d/d-e^0r) = dsigma0Al(e-1r)
Para integrar , fazemos a substituição , mas dá pra lembrar direto:
Então

Resposta

boxedR = dsigma0,A,l(e - 1r),

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