Se f(x)=\sqrt{x+1} e g(x)=x^{2}-4, determine (f \circ g)(x),(g \circ f)(x) e seus domínios.
25. Se f(x)=1 /(x-2) e g(x)=\ln x, determine os domínios de f+g, f g, f / g, f \circ g e g \circ f.

Passo 1

O enunciado dá duas partes. Vou listar claramente o que cada parte pede e quais são as informações fornecidas.
Parte A:
  • Funções dadas:
    • f(x)=\sqrt{x+1}.
    • g(x)=x^{2}-4.
  • Pedidos:
    • Determinar (f\circ g)(x).
    • Determinar (g\circ f)(x).
    • Determinar o domínio de cada composição.
Parte B (questão 25):
  • Funções dadas:
    • f(x)=\dfrac{1}{x-2}.
    • g(x)=\ln x.
  • Pedidos:
    • Determinar os domínios de f+g, f g, \dfrac{f}{g}, f\circ g e g\circ f.
Informações úteis que já estão no enunciado:
  • Para \sqrt{\cdot} é preciso que o argumento seja \ge 0.
  • Para \ln(\cdot) é preciso que o argumento seja >0.
  • Para frações, o denominador não pode ser zero.
  • Domínio de g(x)=x^{2}-4 (polinômio) é todo \mathbb{R}.
  • Domínio de f(x)=\sqrt{x+1} é x tal que x+1\ge0, isto é x\ge-1.

Passo 2

Explico o conceito de composição e como achar o domínio de uma composição — didático e devagar:
  • Definição: (f\circ g)(x)=f(g(x)). Primeiro aplica-se g a x, obtém-se um valor u=g(x), e então aplica-se f a u.
  • Regra do domínio de f\circ g: o domínio é o conjunto dos x tais que:
    1. x pertence ao domínio de g, e
    2. g(x) pertence ao domínio de f.
      Ou seja, tomar apenas os x onde g é definido e cujo valor é aceitável como entrada de f.
      Exemplo simples: se f(u)=\sqrt{u+1}, então u deve satisfazer u+1\ge0. Ao compor, impõe-se g(x)+1\ge0.

Passo 3

Calcular (f\circ g)(x) e determinar seu domínio (Parte A).
  • Primeiro, escrevo a composição: (f\circ g)(x)=f(g(x))=\sqrt{\,g(x)+1\,}=\sqrt{\,x^{2}-4+1\,}=\sqrt{\,x^{2}-3\,}.
  • Agora o domínio: é o conjunto de x tais que o argumento da raiz é não negativo: x^{2}-3 \ge 0.Vou resolver essa desigualdade passo a passo: x^{2}\ge 3 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|\ge \sqrt{3}.Isso significa x\le -\sqrt{3}\quad\text{ou}\quad x\ge \sqrt{3}.Em notação de intervalos o domínio é (-\infty,-\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3},\infty).
  • Observação didática: não precisamos nos preocupar com domínio de g neste caso porque g é polinômio e está definido para todo x; a única restrição vem de f aplicada a g(x).

Passo 4

Calcular (g\circ f)(x) e determinar seu domínio (Parte A).
  • Composição: (g\circ f)(x)=g(f(x))=(\sqrt{x+1})^{2}-4.A propriedade importante: (\sqrt{x+1})^{2}=x+1 desde que a raiz esteja definida (ou seja, quando x+1\ge0). Então (g\circ f)(x)=x+1-4=x-3,mas essa expressão vale somente para os x onde f(x)=\sqrt{x+1} existe.
  • Domínio: exigir que f(x) esteja definido: x+1\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge -1.Portanto o domínio de g\circ f é [-1,\infty).
  • Observação didática: mesmo que a forma simplificada seja x-3 (uma expressão polinomial definida para todo real), a composição só existe onde a raiz original existe; por isso não se estende para todo \mathbb{R}.

Passo 5

Agora resolvo a Parte B: primeiro descrevo os domínios das funções individuais e a regra para operações algébricas.
  • Função f(x)=\dfrac{1}{x-2}:
    • Domínio: todos os reais exceto x=2, isto é (-\infty,2)\cup(2,\infty).
  • Função g(x)=\ln x:
    • Domínio: x>0, isto é (0,\infty).
  • Para operações f+g e f g: domínio é a interseção dos domínios de f e g (ambas precisam estar definidas).
  • Para \dfrac{f}{g}: domínio é a interseção dos domínios de f e g com a condição adicional de que g(x)\neq 0.

Passo 6

Determinar o domínio de f+g e f g.
  • Interseção dos domínios: \operatorname{Dom}(f)\cap\operatorname{Dom}(g) = \big((-\infty,2)\cup(2,\infty)\big)\cap(0,\infty).Como intersectamos com (0,\infty), isso elimina a parte negativa; resta: (0,2)\cup(2,\infty).
  • Conclusão: tanto para f+g quanto para f g o domínio é (0,2)\cup(2,\infty).

Passo 7

Determinar o domínio de \dfrac{f}{g}.
  • Começo pela interseção básica \operatorname{Dom}(f)\cap\operatorname{Dom}(g)=(0,2)\cup(2,\infty) (como no passo anterior).
  • Agora impor que g(x)\neq 0, isto é \ln x \neq 0. Resolver \ln x =0 x=1.
  • Logo devemos remover x=1 (e também x=2 já está removido).
  • Domínio final: (0,1)\cup(1,2)\cup(2,\infty).

Passo 8

Determinar o domínio de f\circ g (isto é f(g(x))) para a Parte B.
  • Primeiro escrevo a composição: (f\circ g)(x)=f(g(x))=\frac{1}{\ln x - 2}.
  • Condições:
    1. x deve estar no domínio de g: x>0.
    2. O denominador não pode ser zero: \ln x -2 \neq 0, ou seja \ln x \neq 2.
  • Resolver \ln x =2 x=e^{2}. Assim devemos excluir x=e^{2}.
  • Domínio final: (0,e^{2})\cup(e^{2},\infty).

Passo 9

Determinar o domínio de g\circ f (isto é g(f(x))) para a Parte B.
  • Escrevo a composição: (g\circ f)(x)=g(f(x))=\ln\!\bigg(\frac{1}{x-2}\bigg).
  • Condições:
    1. x deve estar no domínio de f: x\neq 2.
    2. O argumento do \ln precisa ser estritamente positivo: \frac{1}{x-2}>0.
    Vou resolver essa desigualdade com calma:
    • O numerador 1>0. Uma fração com numerador positivo é positiva exatamente quando o denominador é positivo.
    • Portanto x-2>0, isto é x>2.
  • Unindo com x\neq 2 (já cumprido), o domínio é (2,\infty).
  • Observação didática: valores x<2 tornam x-2<0 e a fração negativa, logo o \ln não estaria definido.

Resposta

(f\circ g)(x)=\sqrt{x^{2}-3}, \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[\sqrt{3},\infty)\n
(g\circ f)(x)=x-3, \operatorname{Dom}(g\circ f)=[-1,\infty)\n
\operatorname{Dom}(f+g)=\operatorname{Dom}(f g)=(0,2)\cup(2,\infty)\n
\operatorname{Dom}\!\Big(\dfrac{f}{g}\Big)=(0,1)\cup(1,2)\cup(2,\infty)\n
\operatorname{Dom}(f\circ g)=(0,e^{2})\cup(e^{2},\infty)\n
\operatorname{Dom}(g\circ f)=(2,\infty)

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