Se
e
, determine
e seus domínios.
25. Se
e
, determine os domínios de
e
.
25. Se
Passo 1
O enunciado dá duas partes. Vou listar claramente o que cada parte pede e quais são as informações fornecidas.
Parte A:
- Funções dadas:
-
. -
.
-
- Pedidos:
- Determinar
. - Determinar
. - Determinar o domínio de cada composição.
- Determinar
Parte B (questão 25):
- Funções dadas:
-
. -
.
-
- Pedidos:
- Determinar os domínios de
, , , e .
- Determinar os domínios de
Informações úteis que já estão no enunciado:
- Para
é preciso que o argumento seja . - Para
é preciso que o argumento seja . - Para frações, o denominador não pode ser zero.
- Domínio de
(polinômio) é todo . - Domínio de
é tal que , isto é .
Passo 2
Explico o conceito de composição e como achar o domínio de uma composição — didático e devagar:
- Definição:
. Primeiro aplica-se a , obtém-se um valor , e então aplica-se a . - Regra do domínio de
: o domínio é o conjunto dos tais que: -
pertence ao domínio de , e -
pertence ao domínio de .
Ou seja, tomar apenas osonde é definido e cujo valor é aceitável como entrada de .
Exemplo simples: se, então deve satisfazer . Ao compor, impõe-se .
-
Passo 3
Calcular
e determinar seu domínio (Parte A).
- Primeiro, escrevo a composição:
- Agora o domínio: é o conjunto de
tais que o argumento da raiz é não negativo: Vou resolver essa desigualdade passo a passo: Isso significa Em notação de intervalos o domínio é - Observação didática: não precisamos nos preocupar com domínio de
neste caso porque é polinômio e está definido para todo ; a única restrição vem de aplicada a .
Passo 4
Calcular
e determinar seu domínio (Parte A).
- Composição:
A propriedade importante: desde que a raiz esteja definida (ou seja, quando ). Então mas essa expressão vale somente para os onde existe. - Domínio: exigir que
esteja definido: Portanto o domínio de é - Observação didática: mesmo que a forma simplificada seja
(uma expressão polinomial definida para todo real), a composição só existe onde a raiz original existe; por isso não se estende para todo .
Passo 5
Agora resolvo a Parte B: primeiro descrevo os domínios das funções individuais e a regra para operações algébricas.
- Função
: - Domínio: todos os reais exceto
, isto é
- Domínio: todos os reais exceto
- Função
: - Domínio:
, isto é
- Domínio:
- Para operações
e : domínio é a interseção dos domínios de e (ambas precisam estar definidas). - Para
: domínio é a interseção dos domínios de e com a condição adicional de que .
Passo 6
Determinar o domínio de
e
.
- Interseção dos domínios:
Como intersectamos com , isso elimina a parte negativa; resta: - Conclusão: tanto para
quanto para o domínio é
Passo 7
Determinar o domínio de
.
- Começo pela interseção básica
(como no passo anterior). - Agora impor que
, isto é . Resolver dá . - Logo devemos remover
(e também já está removido). - Domínio final:
Passo 8
Determinar o domínio de
(isto é
) para a Parte B.
- Primeiro escrevo a composição:
- Condições:
-
deve estar no domínio de : . - O denominador não pode ser zero:
, ou seja .
-
- Resolver
dá . Assim devemos excluir . - Domínio final:
Passo 9
Determinar o domínio de
(isto é
) para a Parte B.
- Escrevo a composição:
- Condições:
-
deve estar no domínio de : . - O argumento do
precisa ser estritamente positivo:
- O numerador
. Uma fração com numerador positivo é positiva exatamente quando o denominador é positivo. - Portanto
, isto é .
-
- Unindo com
(já cumprido), o domínio é - Observação didática: valores
tornam e a fração negativa, logo o não estaria definido.