Determine a\) e \(b\) para que \[f(x)= \begin{cases}a x+b, & x<1 \\\ x^{2}+1, & x \geq 1\end{cases}
satisfaça f(0)=3\] e não apresente salto em \(x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}a x+b, & x<1 \\\ x^{2}+1, & x \geq 1\end{cases}
e pede dois requisitos:
  • que f(0)=3;
  • que f não apresente salto em x=1 (isto é, seja contínua em x=1).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Para x<1 a expressão é \,a x+b.
  • Para x\ge 1 a expressão é \,x^{2}+1.
  • O valor exigido em x=0 é \,f(0)=3.
  • "Não apresentar salto em x=1" significa que o limite à esquerda em 1 e o valor (ou limite à direita) em 1 devem ser iguais.

Passo 2

Usar a condição f(0)=3. Como 0<1, o ramo aplicável é \,a x+b. Logo,
f(0)=a\cdot 0+b=b.
A condição f(0)=3 dá imediatamente
b=3.

Passo 3

Calcular o valor de f em x=1 pelo ramo x\ge 1. Substituindo x=1 na expressão \,x^{2}+1 obtemos
f(1)=1^{2}+1=2.
Portanto o valor (e o limite pela direita) em x=1 é \,2.

Passo 4

Interpretar "não apresentar salto em x=1". Isso significa que o limite pela esquerda quando x\to1^{-} deve ser igual ao valor em x=1. O limite pela esquerda é dado pela expressão linear avaliada em x\to1^{-}, isto é \,a\cdot 1 + b = a+b. Portanto exigimos
a+b = f(1).
Substituindo o valor encontrado de f(1)=2 e b=3 obtemos
a+3=2.

Passo 5

Resolver a equação para a:
a+3=2 \quad\Rightarrow\quad a=2-3=-1.
Assim temos a=-1 e b=3.

Passo 6

Verificação rápida (para ficar tranquilo):
  • f(0)=a\cdot 0+b=b=3 confirma a primeira condição.
  • Limite à esquerda em 1: a\cdot 1+b=-1+3=2.
  • Valor em 1: f(1)=1^{2}+1=2.
    Como limite à esquerda e valor em 1 coincidem, não há salto em x=1. Tudo conferido!

Resposta

a=-1
b=3

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