Logo a contribuição da parte dx+dy é 0. Resta calcular \int_{C}\omega.
Passo 4
Observação útil sobre \omega: a forma \omega não é definida no ponto (0,0) (denominador x^{2}+4y^{2} nulo). Para aplicar o Teorema de Green devemos trabalhar em uma região que evite essa singularidade. Vamos usar o Teorema de Green num domínio que é o triângulo com vértices (1,0),(0,1),(0,0) menos uma pequena quarter-disco de raio \varepsilon>0 centrado em (0,0). Denoto esse domínio por D_{\varepsilon}; sua fronteira \partial D_{\varepsilon} tem quatro pedaços (orientados positivamente = contra-horário):
o segmento C de (1,0) a (0,1);
o segmento do eixo y de (0,1) até (0,\varepsilon);
o arco pequeno do círculo de raio \varepsilon de (0,\varepsilon) até (\varepsilon,0) (este arco é a fronteira interior e terá orientação oposta à positiva quando for tratado como fronteira do buraco);
o segmento do eixo x de (\varepsilon,0) até (1,0).
Aplicando Green em D_{\varepsilon} (onde \omega é C^{1}), temos
Agora mostramos que as integrais ao longo dos trechos dos eixos são nulas:
No eixo x (onde y=0) temos \omega=-\dfrac{0}{x^{2}}dx+\dfrac{x}{x^{2}}dy=0 porque dy=0 ali; logo a integral sobre o segmento do eixo x é 0.
No eixo y (onde x=0) temos \omega=-\dfrac{y}{4y^{2}}dx+\dfrac{0}{4y^{2}}dy=-\dfrac{1}{4y}\,dx, mas ao andar ao longo do eixo y temos dx=0, logo a integral sobre esse segmento também é 0.
Atente à orientação do arco pequeno: como é a fronteira do buraco interior, ele aparece com orientação contrária à orientação positiva do domínio; o cálculo acima leva isso em conta. Portanto
\int_{C}\omega = \int_{\text{arco}},\qquad\text{o arco sendo parametrizado de }t=0\text{ até }t=\tfrac{\pi}{2}.é
(Em palavras: a integral sobre C é igual à integral da mesma forma sobre o arco pequeno que vai de (\varepsilon,0) a (0,\varepsilon) no sentido de ângulo t de 0 a \tfrac{\pi}{2}.)