Questão 2. Use o Teorema de Green para calcular a integral
\int_{C}\left(1-\frac{y}{x^{2}+4 y^{2}}\right) d x+\left(1+\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}}\right) d y
em que C é o segmento de reta que liga o ponto (1,0) ao ponto (0,1).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha
\int_{C}\left(1-\frac{y}{x^{2}+4 y^{2}}\right) d x+\left(1+\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}}\right) d y,
onde C é o segmento de reta que une (1,0) a (0,1).
Informações dadas e objetivo claro:
  • A curva C é o segmento de reta de (1,0) a (0,1).
  • A forma diferencial a integrar é P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=1-\frac{y}{x^{2}+4y^{2}},\qquad Q(x,y)=1+\frac{x}{x^{2}+4y^{2}}.
  • Objetivo: calcular o valor numérico da integral de linha sobre C.

Passo 2

Separar a forma em duas partes mais simples, para entender o que contribui:
P\,dx+Q\,dy = \underbrace{1\cdot dx + 1\cdot dy}_{\text{parte regular}} \;+\; \underbrace{\left(-\frac{y}{x^{2}+4y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+4y^{2}}\,dy\right)}_{\omega}.
Chamo a segunda parte de \omega:
\omega = -\frac{y}{x^{2}+4y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+4y^{2}}\,dy.
A integral pedida é a soma das integrais dessas duas partes sobre C.

Passo 3

Calcular a integral da parte regular:
\int_{C} (dx+dy)=\int_{C} d(x+y) = (x+y)\Big|_{(1,0)}^{(0,1)}.
Avalia:
(x+y)\Big|_{(1,0)}^{(0,1)} = (0+1)-(1+0)=0.
Logo a contribuição da parte dx+dy é 0. Resta calcular \int_{C}\omega.

Passo 4

Observação útil sobre \omega: a forma \omega não é definida no ponto (0,0) (denominador x^{2}+4y^{2} nulo). Para aplicar o Teorema de Green devemos trabalhar em uma região que evite essa singularidade. Vamos usar o Teorema de Green num domínio que é o triângulo com vértices (1,0),(0,1),(0,0) menos uma pequena quarter-disco de raio \varepsilon>0 centrado em (0,0). Denoto esse domínio por D_{\varepsilon}; sua fronteira \partial D_{\varepsilon} tem quatro pedaços (orientados positivamente = contra-horário):
  1. o segmento C de (1,0) a (0,1);
  2. o segmento do eixo y de (0,1) até (0,\varepsilon);
  3. o arco pequeno do círculo de raio \varepsilon de (0,\varepsilon) até (\varepsilon,0) (este arco é a fronteira interior e terá orientação oposta à positiva quando for tratado como fronteira do buraco);
  4. o segmento do eixo x de (\varepsilon,0) até (1,0).
Aplicando Green em D_{\varepsilon} (onde \omega é C^{1}), temos
\oint_{\partial D_{\varepsilon}} \omega = \iint_{D_{\varepsilon}} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.

Passo 5

Calcular o rotor (a função sob a integral dupla):
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}.
Primeiro compute as derivadas (com g=x^{2}+4y^{2}):
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\frac{x}{g}\right) =\frac{g-2x^{2}}{g^{2}}=\frac{-x^{2}+4y^{2}}{g^{2}}, \qquad \frac{\partial}{\partial y}\!\left(-\frac{y}{g}\right) =-\frac{g-8y^{2}}{g^{2}}=-\frac{x^{2}-4y^{2}}{g^{2}}.
Portanto
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{-x^{2}+4y^{2}}{g^{2}}-\left(-\frac{x^{2}-4y^{2}}{g^{2}}\right)=0.
Assim o integrando da integral dupla é 0, logo
\iint_{D_{\varepsilon}} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA=0.
Pelo Teorema de Green, a integral de \omega ao longo da fronteira \partial D_{\varepsilon} vale 0.

Passo 6

Escrever a integral sobre \partial D_{\varepsilon} como soma das integrais sobre os quatro trechos:
0=\oint_{\partial D_{\varepsilon}}\omega =\int_{C}\omega+\int_{\text{eixo }y,\;(0,1)\to(0,\varepsilon)}\omega +\int_{\text{arco pequeno}}\omega+\int_{\text{eixo }x,\;(\varepsilon,0)\to(1,0)}\omega.
Agora mostramos que as integrais ao longo dos trechos dos eixos são nulas:
  • No eixo x (onde y=0) temos \omega=-\dfrac{0}{x^{2}}dx+\dfrac{x}{x^{2}}dy=0 porque dy=0 ali; logo a integral sobre o segmento do eixo x é 0.
  • No eixo y (onde x=0) temos \omega=-\dfrac{y}{4y^{2}}dx+\dfrac{0}{4y^{2}}dy=-\dfrac{1}{4y}\,dx, mas ao andar ao longo do eixo y temos dx=0, logo a integral sobre esse segmento também é 0.
Com isso resta:
0=\int_{C}\omega+\int_{\text{arco pequeno}}\omega.
Atente à orientação do arco pequeno: como é a fronteira do buraco interior, ele aparece com orientação contrária à orientação positiva do domínio; o cálculo acima leva isso em conta. Portanto
\int_{C}\omega = -\int_{\text{arco pequeno (orientação conforme }\partial D_{\varepsilon})}\omega.çã
Seguindo a orientação correta, isso dá
\int_{C}\omega = \int_{\text{arco}},\qquad\text{o arco sendo parametrizado de }t=0\text{ até }t=\tfrac{\pi}{2}.é
(Em palavras: a integral sobre C é igual à integral da mesma forma sobre o arco pequeno que vai de (\varepsilon,0) a (0,\varepsilon) no sentido de ângulo t de 0 a \tfrac{\pi}{2}.)

Passo 7

Parametrizar o arco pequeno por
x=r\cos t,\qquad y=r\sin t,\qquad t\in[0,\tfrac{\pi}{2}],
com r=\varepsilon (qualquer r>0 pequeno). Então
dx=-r\sin t\,dt,\qquad dy=r\cos t\,dt.
Calcular \omega ao longo desse arco:
-\frac{y}{x^{2}+4y^{2}}\,dx+\frac{x}{x^{2}+4y^{2}}\,dy = \frac{-r\sin t\cdot(-r\sin t)\,dt + r\cos t\cdot r\cos t\,dt}{r^{2}(\cos^{2}t+4\sin^{2}t)}.
No numerador aparece r^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)=r^{2}. Assim a expressão simplifica para
\omega\big|_{\text{arco}} = \frac{r^{2}\,dt}{r^{2}(\cos^{2}t+4\sin^{2}t)} = \frac{dt}{\cos^{2}t+4\sin^{2}t}.
Observe que a dependência em r cancelou: a integral no arco não depende do raio pequeno escolhido.

Passo 8

Calcular a integral no arco (onde t vai de 0 a \tfrac{\pi}{2}):
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{dt}{\cos^{2}t+4\sin^{2}t}.
Use a substituição u=\tan t, então dt=\dfrac{du}{1+u^{2}}, \cos^{2}t=\dfrac{1}{1+u^{2}}, \sin^{2}t=\dfrac{u^{2}}{1+u^{2}}. Assim o integrando vira
\frac{dt}{\cos^{2}t+4\sin^{2}t} =\frac{\dfrac{du}{1+u^{2}}}{\dfrac{1+4u^{2}}{1+u^{2}}} =\frac{du}{1+4u^{2}}.
Os limites: t=0\mapsto u=0, t=\tfrac{\pi}{2}\mapsto u\to+\infty. Portanto
\int_{0}^{\tfrac{\pi}{2}} \frac{dt}{\cos^{2}t+4\sin^{2}t} =\int_{0}^{\infty}\frac{du}{1+4u^{2}} =\left[\frac{1}{2}\arctan(2u)\right]_{0}^{\infty} =\frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4}.

Passo 9

Concluir: já tínhamos a integral da parte dx+dy igual a 0, e mostramos que
\int_{C}\omega = \frac{\pi}{4}.
Portanto a integral total pedida é
\int_{C}\left(1-\frac{y}{x^{2}+4 y^{2}}\right) d x+\left(1+\frac{x}{x^{2}+4 y^{2}}\right) d y =0+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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