\sqrt{x^{2}}=x

Passo 1

O enunciado dá a igualdade \sqrt{x^{2}}=x e pede para determinar para quais valores de x essa igualdade é verdadeira. Informações relevantes que temos:
  • A expressão é sobre números reais (assumimos x\in\mathbb{R}).
  • O símbolo \sqrt{\cdot} indica a raiz quadrada principal (sempre não negativa).
  • Precisamos achar o conjunto de todas as soluções reais x que satisfazem \sqrt{x^{2}}=x.

Passo 2

Entender o que significa \sqrt{\cdot} é crucial. Por definição, para todo t\ge0 vale
\sqrt{t}\ge0\quad\text{e}\quad(\sqrt{t})^{2}=t.
Agora aplique isso a t=x^{2}. Note que x^{2}\ge0 para todo x\in\mathbb{R}, então \sqrt{x^{2}} é bem definida e é não negativa. Vamos mostrar que
\sqrt{x^{2}}=|x|.
Prova em duas partes (casos):
  • Se x\ge0, então x^{2}=x^{2} e a raiz principal de x^{2} é x (porque x já é não negativo). Logo \sqrt{x^{2}}=x.
  • Se x<0, escreva x=-y com y>0. Então x^{2}=y^{2} e \sqrt{x^{2}}=\sqrt{y^{2}}=y. Mas y=-x, então \sqrt{x^{2}}=-x. Como x<0 temos -x>0, isto é precisamente |x|. Assim \sqrt{x^{2}}=|x| também neste caso.
Portanto, para todo x\in\mathbb{R},
\sqrt{x^{2}}=|x|.

Passo 3

Explicar o valor absoluto de forma simples: a definição de |x|\) é \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se }x\ge0,\\[4pt] -x, & \text{se }x<0. \end{cases}
Ou seja, |x|\] é sempre não negativo e representa a distância de \(x até zero na reta real. Exemplos rápidos:
  • Para x=3 tem |3|=3.
  • Para x=-3 tem |-3|=3.]

Passo 4

Voltemos à equação original. Substituindo \sqrt{x^{2}}=|x| obtemos
|x| = x.
Usando a definição de valor absoluto, isso acontece somente quando x\ge0, porque:
  • Se x\ge0 então |x|=x, a igualdade é satisfeita.
  • Se x<0 então |x|=-x e -x\neq x (pois isso exigiria x=0), logo a igualdade não vale.
Portanto a condição para que \sqrt{x^{2}}=x seja verdadeira é exatamente x\ge0.

Passo 5

Um erro comum: alguns alunos “quadram” os dois lados para tentar resolver e obtêm
(\sqrt{x^{2}})^{2}=x^{2}\quad\Rightarrow\quad x^{2}=x^{2},
que é uma identidade e não dá informação útil (parece indicar que todo x é solução). O problema é que ao elevar ambos os lados perdemos informação de sinal — a operação não é reversível sem checar soluções. Por exemplo, para x=-1 a igualdade quadrada dá 1=1 (verdadeira), porém a igualdade original \sqrt{(-1)^{2}}= -1 é falsa, porque \sqrt{1}=1\neq-1. Portanto sempre que você elevar ao quadrado numa equação que envolve raiz, precisa verificar as soluções no enunciado original; aqui a substituição por |x| é a forma direta e segura.

Passo 6

Conclusão amigável: a igualdade \sqrt{x^{2}}=x é verdadeira exatamente quando x é não negativo. Exemplos:
  • x=0: \sqrt{0^{2}}=0 (ok).
  • x=5: \sqrt{5^{2}}=5 (ok).
  • x=-5: \sqrt{(-5)^{2}}=5\neq-5 (não é solução).

Resposta

[0,\infty)

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