Passo 1
O enunciado dá a igualdade
e pede para determinar para quais valores de
essa igualdade é verdadeira. Informações relevantes que temos:
- A expressão é sobre números reais (assumimos
). - O símbolo
indica a raiz quadrada principal (sempre não negativa). - Precisamos achar o conjunto de todas as soluções reais
que satisfazem .
Passo 2
Entender o que significa
é crucial. Por definição, para todo
vale
Agora aplique isso a
. Note que
para todo
, então
é bem definida e é não negativa. Vamos mostrar que
Prova em duas partes (casos):
- Se
, então e a raiz principal de é (porque já é não negativo). Logo . - Se
, escreva com . Então e . Mas , então . Como temos , isto é precisamente . Assim também neste caso.
Portanto, para todo
,
Passo 3
Explicar o valor absoluto de forma simples: a definição de
Ou seja,
até zero na reta real. Exemplos rápidos:
- Para
tem . - Para
tem .]
Passo 4
Voltemos à equação original. Substituindo
obtemos
Usando a definição de valor absoluto, isso acontece somente quando
, porque:
- Se
então , a igualdade é satisfeita. - Se
então e (pois isso exigiria ), logo a igualdade não vale.
Portanto a condição para que
seja verdadeira é exatamente
.
Passo 5
Um erro comum: alguns alunos “quadram” os dois lados para tentar resolver e obtêm
que é uma identidade e não dá informação útil (parece indicar que todo
é solução). O problema é que ao elevar ambos os lados perdemos informação de sinal — a operação não é reversível sem checar soluções. Por exemplo, para
a igualdade quadrada dá
(verdadeira), porém a igualdade original
é falsa, porque
. Portanto sempre que você elevar ao quadrado numa equação que envolve raiz, precisa verificar as soluções no enunciado original; aqui a substituição por
é a forma direta e segura.
Passo 6
Conclusão amigável: a igualdade
é verdadeira exatamente quando
é não negativo. Exemplos:
-
: (ok). -
: (ok). -
: (não é solução).