Calcule
onde
é a curva interseção da superfície
como plano
Escolha uma opção:
Limpar minha escolha
Escolha uma opção:
Limpar minha escolha
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é a curva dada pela interseção entre a superfície
e o plano
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função escala ao longo da curva é
. - A curva
é a interseção das duas superfícies acima. - A condição
restringe a parte da curva que interessa.
O próximo passo é parametrizar a curvae usar a fórmula da integral de linha para integrais escalares.
Passo 2
Vamos parametrizar
. Da interseção substituímos
no plano
. Assim obtemos:
Portanto uma parametrização natural é usar
como parâmetro. Definimos
Agora precisamos do intervalo de
. Da condição
temos
, logo
. Assim
.
Lembrete do conceito: para uma curva parametrizada por , a integral de linha de uma função escalar
ao longo da curva é
Lembrete do conceito: para uma curva parametrizada por
onde
é o diferencial de comprimento de arco. Aqui
é nosso
.
Passo 3
Calculemos
e seu módulo:
O quadrado do módulo é
Desenvolvendo:
Chamemos
. Então
Observe uma relação útil: a derivada de
é
ou seja,
é proporcional a
, que aparece na integranda. Isso é a pista para um substituição que vai simplificar a integral.
Passo 4
Escrevemos a integral usando a parametrização:
Façamos a substituição
. Então
, daí
Quando
temos
e quando
temos
Substituindo na integral:
Passo 5
Compute a integral em
. Temos
Agora escrevemos as potências na forma de raízes:
Então
Passo 6
Concluímos que o valor da integral é
que, reorganizando os termos, corresponde à opção