Calcule \int_{C}(4 y-1) d s onde C é a curva interseção da superfície
S=\left\{(x, y, z): z=1-y^{2}, z \geq 0\right\} como plano x+y+z=2
Escolha uma opção:
\bigcirc \frac{7 \sqrt{14}}{3}-\sqrt{6}
\bigcirc \frac{7 \sqrt{3}}{3}-\sqrt{14}
\bigcirc \frac{7 \sqrt{14}}{6}-\sqrt{3}
\bigcirc -\frac{7 \sqrt{6}}{3}+\sqrt{14}
\bigcirc -\frac{7 \sqrt{14}}{3}+\sqrt{6}
Limpar minha escolha

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} (4y-1)\,ds
onde C é a curva dada pela interseção entre a superfície
S:\; z=1-y^{2},\quad z\ge 0
e o plano
x+y+z=2.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função escala ao longo da curva é 4y-1.
  • A curva C é a interseção das duas superfícies acima.
  • A condição z\ge 0 restringe a parte da curva que interessa.
    O próximo passo é parametrizar a curva C e usar a fórmula da integral de linha para integrais escalares.

Passo 2

Vamos parametrizar C. Da interseção substituímos z=1-y^{2} no plano x+y+z=2. Assim obtemos:
x+y+(1-y^{2})=2 \implies x=1+y^{2}-y.
Portanto uma parametrização natural é usar y como parâmetro. Definimos
\mathbf{r}(y)=\bigl(1+y^{2}-y,\; y,\; 1-y^{2}\bigr).
Agora precisamos do intervalo de y. Da condição z\ge 0 temos 1-y^{2}\ge 0, logo |y|\le 1. Assim y\in[-1,1].
Lembrete do conceito: para uma curva parametrizada por \mathbf{r}(t), a integral de linha de uma função escalar f ao longo da curva é
\int_C f\,ds = \int_{t_1}^{t_2} f(\mathbf{r}(t))\,\|\mathbf{r}'(t)\|\,dt,
onde ds=\|\mathbf{r}'(t)\|dt é o diferencial de comprimento de arco. Aqui t é nosso y.

Passo 3

Calculemos \mathbf{r}'(y) e seu módulo:
\mathbf{r}'(y)=\bigl(2y-1,\; 1,\; -2y\bigr).
O quadrado do módulo é
\|\mathbf{r}'(y)\|^{2}=(2y-1)^{2}+1^{2}+(-2y)^{2}.
Desenvolvendo:
(2y-1)^{2}+1+4y^{2}=4y^{2}-4y+1+1+4y^{2}=8y^{2}-4y+2.
Chamemos u(y)=8y^{2}-4y+2. Então
\|\mathbf{r}'(y)\|=\sqrt{u(y)}=\sqrt{8y^{2}-4y+2}.
Observe uma relação útil: a derivada de u é
u'(y)=16y-4=4(4y-1),
ou seja, u' é proporcional a 4y-1, que aparece na integranda. Isso é a pista para um substituição que vai simplificar a integral.

Passo 4

Escrevemos a integral usando a parametrização:
\int_{C}(4y-1)\,ds=\int_{y=-1}^{1} (4y-1)\,\|\mathbf{r}'(y)\|\,dy =\int_{-1}^{1} (4y-1)\sqrt{8y^{2}-4y+2}\,dy.
Façamos a substituição t=u(y)=8y^{2}-4y+2. Então dt=u'(y)\,dy=4(4y-1)\,dy, daí
(4y-1)\,dy=\frac{dt}{4}.
Quando y=-1 temos
t=u(-1)=8(1)+4+2=14,
e quando y=1 temos
t=u(1)=8-4+2=6.
Substituindo na integral:
\int_{-1}^{1} (4y-1)\sqrt{8y^{2}-4y+2}\,dy =\frac{1}{4}\int_{t=14}^{6} \sqrt{t}\,dt.

Passo 5

Compute a integral em t. Temos
\frac{1}{4}\int_{14}^{6} t^{1/2}\,dt=\frac{1}{4}\left[\frac{2}{3}t^{3/2}\right]_{14}^{6} =\frac{1}{6}\bigl(6^{3/2}-14^{3/2}\bigr).
Agora escrevemos as potências na forma de raízes:
6^{3/2}=(\sqrt{6})^{3}=6\sqrt{6},\qquad 14^{3/2}=14\sqrt{14}.
Então
\frac{1}{6}\bigl(6^{3/2}-14^{3/2}\bigr)=\frac{1}{6}\bigl(6\sqrt{6}-14\sqrt{14}\bigr) =\sqrt{6}-\frac{7}{3}\sqrt{14}.

Passo 6

Concluímos que o valor da integral é
\sqrt{6}-\frac{7}{3}\sqrt{14},
que, reorganizando os termos, corresponde à opção
-\frac{7\sqrt{14}}{3}+\sqrt{6}.

Resposta

-\dfrac{7\sqrt{14}}{3}+\sqrt{6}

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