A Sra. Honorina Manuela é uma senhora muito destemida que resolveu praticar bungee jump. Para isso, ela foi até uma plataforma de salto que fica a 100 m de altura em relação à base de um certo vale. A corda elástica utilizada por Honorina em seu salto tem comprimento natural de
. Ao saltar, Honorina abre seus braços, e deixa seu corpo cair com um grande sorriso no rosto. Durante o salto, a altura mínima de Honorina em relação à base do vale é
. Honorina tem massa
, a massa da corda elástica é desprezível, e durante o salto não há nenhum tipo de perda de energia. (Desconsidere a altura da Sra. Honorina.) Calcule o valor máximo de massa que a pessoa pode ter para que, saltando da mesma plataforma e utilizando a mesma corda usada por Honorina, ela salte em segurança sem atingir o fundo do vale.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física sobre bungee jump! O problema envolve energia potencial gravitacional e energia potencial elástica, e vamos usar conservação de energia para encontrar a massa máxima que uma pessoa pode ter para saltar com segurança usando a mesma corda da Sra. Honorina. Precisamos entender conceitos como queda livre, extensão da corda elástica e como a energia se transforma durante o salto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação da Sra. Honorina. Ela salta de uma plataforma de 100 metros de altura. A corda elástica que ela usa tem um comprimento natural de 50 metros, ou seja, sem esticar. Quando ela salta, ela cai os primeiros 50 metros livremente, porque a corda ainda não está esticada. Apenas após esses 50 metros, a corda começa a esticar e a desacelerar sua queda até que ela atinja a altura mínima de 10 metros acima do vale.
Passo 3
Vamos usar a conservação da energia mecânica, que diz que a energia total (cinética + potencial) permanece constante se não houver perdas. No caso da Sra. Honorina, a energia potencial gravitacional na altura inicial se transforma em energia potencial elástica no ponto mais baixo do salto.
A energia potencial gravitacional é dada por:
Onde:
- $ m $ é a massa (60 kg)
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aprox.
- $ h $ é a altura (100 m)
A energia potencial elástica é dada por:
Onde:
- $ k $ é a constante elástica da corda
- $ \Delta L $ é a extensão da corda além do comprimento natural
Passo 4
Primeiro, vamos calcular a energia potencial gravitacional inicial da Sra. Honorina:
No ponto mais baixo, a altura é 10 metros, então a diferença de altura é:
A corda só começa a esticar após os primeiros 50 metros, então a extensão da corda é:
Passo 5
Agora, igualamos a energia potencial gravitacional inicial à energia potencial elástica no ponto mais baixo:
Passo 6
Agora que conhecemos a constante elástica da corda ($ k = 73,5 , N/m
m_{max} $) que pode saltar sem atingir o fundo do vale.
Usamos a mesma relação de conservação de energia:
Resposta
A massa máxima que a pessoa pode ter para saltar em segurança é 60 kg.