A Sra. Honorina Manuela é uma senhora muito destemida que resolveu praticar bungee jump. Para isso, ela foi até uma plataforma de salto que fica a 100 m de altura em relação à base de um certo vale. A corda elástica utilizada por Honorina em seu salto tem comprimento natural de 50,0 m. Ao saltar, Honorina abre seus braços, e deixa seu corpo cair com um grande sorriso no rosto. Durante o salto, a altura mínima de Honorina em relação à base do vale é h min =10,0 m. Honorina tem massa m=60,0 kg, a massa da corda elástica é desprezível, e durante o salto não há nenhum tipo de perda de energia. (Desconsidere a altura da Sra. Honorina.) Calcule a velocidade da Sra. Honorina quando ela está a uma altura de 50,0 m em relação ao fundo do vale.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a Sra. Honorina fez! Ela pulou de uma plataforma a 100 metros de altura usando uma corda de bungee com comprimento natural de 50 metros. A altura mínima que ela alcança é 10 metros acima do vale. Queremos descobrir quão rápido ela está se movendo quando está a 50 metros do fundo do vale.
Matéria envolvida: Conservação de energia em sistemas mecânicos.
O que precisamos para resolver:
  • Energia potencial gravitacional
  • Energia cinética
  • Fórmula da conservação de energia

Passo 2

Primeiro, vamos entender a situação. Quando a Sra. Honorina está no topo (100 m), ela tem energia potencial gravitacional e nenhuma energia cinética porque ainda não começou a cair.
A energia potencial gravitacional (U) é dada por:
U = m times g times h
onde:
- $ m $ é a massa (60 kg)
- $ g $ é a aceleração da gravidade (aproximadamente $ 9,8 , m/s² $)
- $ h $ é a altura

Passo 3

No ponto onde ela está a 50 metros de altura, ela ainda tem energia potencial gravitacional, mas agora também tem energia cinética porque está se movendo.
A energia cinética (K) é dada por:
K = 12 times m times v^2
onde:
- $ v $ é a velocidade que queremos encontrar

Passo 4

Como não há perda de energia durante o salto, a energia total no topo é igual à energia total quando ela está a 50 metros de altura.
Então, podemos escrever:
Utopo = U50m + K50m
Substituindo as fórmulas:
m times g times htopo = m times g times h50m + 12 times m times v^2

Passo 5

Vamos simplificar a equação. Podemos cancelar a massa $ m $ de todos os termos:
m
Agora, isolamos $ v^2 $:
g times htopo = g times h50m + 12 times v^2

Passo 6

Substituindo os valores conhecidos:
  • $ g = 9,8 , m/s² $
  • $ h_{topo} = 100 , m $
  • $ h_{50m} = 50 , m $
g = 9,8 , m/s²
htopo = 100 , m
h50m = 50 , m

Passo 7

Agora, tiramos a raiz quadrada para encontrar $ v $:
v
v = raiz980

Resposta

A velocidade da Sra. Honorina quando ela está a 50,0 m acima do vale é aproximadamente $ 31,3 , m/s $.

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