A Sra. Honorina Manuela é uma senhora muito destemida que resolveu praticar bungee jump. Para isso, ela foi até uma plataforma de salto que fica a 100 m de altura em relação à base de um certo vale. A corda elástica utilizada por Honorina em seu salto tem comprimento natural de
. Ao saltar, Honorina abre seus braços, e deixa seu corpo cair com um grande sorriso no rosto. Durante o salto, a altura mínima de Honorina em relação à base do vale é
. Honorina tem massa
, a massa da corda elástica é desprezível, e durante o salto não há nenhum tipo de perda de energia. (Desconsidere a altura da Sra. Honorina.) Calcule a velocidade máxima da Sra. Honorina durante o salto. Qual a altura da Sra. Honorina quando isso ocorre?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de física juntos! O problema fala sobre um salto de bungee e envolve conceitos de energia potencial gravitacional e energia elástica. Precisamos calcular duas coisas: a velocidade máxima da Sra. Honorina durante o salto e a altura em que essa velocidade ocorre.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a situação. A Sra. Honorina salta de uma plataforma que está a 100 metros de altura. A corda de bungee tem um comprimento natural de 50 metros. Durante o salto, ela alcança uma altura mínima de 10 metros em relação à base do vale.
Passo 3
Vamos identificar as energias envolvidas:
- Energia Potencial Gravitacional (EPG): Energia que a Sra. Honorina possui devido à sua posição em relação ao solo.
- Energia Elástica (EE): Energia armazenada na corda elástica quando ela estica.
Como não há perda de energia, a energia total no ponto mais alto será igual à energia total no ponto de mínima altura.
Passo 4
Vamos calcular a variação da energia. No ponto mais alto (100 m), toda a energia é potencial gravitacional:
Onde:
- $ m = 60,0 , kg $ (massa de Honorina)
- $ g = 9,8 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
- $ h_{inicial} = 100 , m $
Passo 5
No ponto de mínima altura (10 m), a energia total é a soma da energia potencial gravitacional e da energia elástica da corda:
Onde:
- $ h_{final} = 10 , m $
- $ x $ é a extensão da corda
- $ k $ é a constante elástica da corda
Passo 6
Primeiro, vamos determinar a extensão da corda ($ x $). A Sra. Honorina desce de 100 m até 10 m, ou seja, desce 90 m. Como a corda tem comprimento natural de 50 m, a extensão é:
Passo 7
Agora, igualamos a energia inicial e a energia final:
Vamos resolver para $ k $ se necessário, mas como o problema não nos pede a constante elástica, podemos focar na velocidade máxima.
Passo 8
A velocidade máxima ocorre quando a corda começa a esticar, ou seja, no ponto onde a Sra. Honorina ainda está em queda livre antes da corda agir. Nesse ponto, toda a energia é potencial gravitacional convertida em energia cinética:
Onde $ v_{máx} $ é a velocidade máxima.
Passo 9
Isolando $ v_{máx} $:
Substituindo os valores:
Passo 10
Agora, vamos determinar a altura em que essa velocidade máxima ocorre. Como a velocidade máxima ocorre antes da corda esticar, a altura é igual ao comprimento natural da corda:
Onde $ x_{libre} = 50 , m $ (comprimento natural).
Então:
Resposta
A velocidade máxima da Sra. Honorina durante o salto é aproximadamente $ 44,29 , m/s $ e essa velocidade ocorre quando ela está a 50 metros de altura em relação à base do vale.