stão 3 (34 pts): Encontre a solução do problema abaixo, sujeita à condição \lim _{y \rightarrow \infty} u(x, y)=0 :
\begin{cases}u_{x x}+u_{y y}=0, & y>0,0<x<\pi \\\ u(0, y)=u(\pi, y)=0, & y>0 \\\ u(x, 0)=\pi x-x^{2}, & 0 \leq x \leq \pi\end{cases}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Equação diferencial parcial: u_{x x}+u_{y y}=0, válida para y>0 e 0<x<\pi.
  • Condições de contorno em x: u(0,y)=0,\qquad u(\pi,y)=0,\qquad y>0.
  • Condição na linha y=0: u(x,0)=\pi x-x^{2},\qquad 0\le x\le\pi.
  • Condição no infinito: \displaystyle \lim_{y\to\infty} u(x,y)=0.
O que o problema pede: encontrar u(x,y) que satisfaz a equação de Laplace no semiplano superior estreito 0<x<\pi,\;y>0, com as condições de contorno dadas e a condição de decaimento quando y\to\infty.

Passo 2

Escolha do método e ideia principal (sem resolver ainda): como as condições em x=0 e x=\pi são homogêneas ( u=0), é natural expandir a condição em y=0 numa série de senos (séries de Fourier tipo seno) e procurar uma solução por separação de variáveis com modos \sin(nx) que satisfaçam as condições em x. Vou explicar por que.
Passo técnico da separação (resumo didático): suponha uma solução separável da forma u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo em u_{xx}+u_{yy}=0 temos
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Isto implica que cada fração é igual a uma constante -\lambda. Para as condições X(0)=X(\pi)=0 os autovalores \lambda admissíveis são \lambda=n^{2} com n=1,2,\dots, e as funções próprias são X_n(x)=\sin(nx). Para Y(y) obtemos Y_n''-n^{2}Y_n=0, com soluções Y_n(y)=A_n e^{ny}+B_n e^{-ny}. A condição \lim_{y\to\infty}u(x,y)=0 força A_n=0 (o termo e^{ny} cresce), então os modos em y são múltiplos de e^{-ny}.
Portanto a forma geral da solução que buscamos é
u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(nx)\,e^{-n y},
onde os coeficientes a_n serão fixados pela condição u(x,0)=\pi x-x^{2}.

Passo 3

Expansão da condição de contorno em y=0 em série de senos e fórmula dos coeficientes.
Queremos
\pi x-x^{2}=\sum_{n=1}^{\infty} a_n \sin(nx),\qquad 0\le x\le\pi.
Porque as funções \{\sin(nx)\}_{n\ge1} são ortogonais em [0,\pi] com \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,dx=\frac{\pi}{2}\delta_{nm}, os coeficientes vêm da fórmula
a_n=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}\big(\pi x-x^{2}\big)\sin(nx)\,dx,\qquad n=1,2,\dots
Vou calcular essa integral passo a passo.

Passo 4

Cálculo das integrais necessárias. Defino
I_1=\int_{0}^{\pi} x\sin(nx)\,dx,\qquad I_2=\int_{0}^{\pi} x^{2}\sin(nx)\,dx.
Calcule I_1 por partes: tome u=x, dv=\sin(nx)\,dx. Então du=dx, v=-\dfrac{\cos(nx)}{n}. Assim
I_1=\left[-\frac{x\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}+\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\cos(nx)\,dx.
A segunda integral é \dfrac{1}{n}[\sin(nx)/n]_{0}^{\pi}=0 porque \sin(n\pi)=0. Assim sobra
I_1=-\frac{\pi\cos(n\pi)}{n}=-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.
Agora calcule I_2. Integração por partes com u=x^{2}, dv=\sin(nx)\,dx
I_2=\left[-\frac{x^{2}\cos(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}+\frac{2}{n}\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
A primeira parcela é -\dfrac{\pi^{2}\cos(n\pi)}{n}=-\dfrac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}. Resta calcular J=\int_{0}^{\pi} x\cos(nx)\,dx.
Calcule J por partes: tome u=x, dv=\cos(nx)\,dx. Então du=dx, v=\dfrac{\sin(nx)}{n}. Assim
J=\left[\frac{x\sin(nx)}{n}\right]_{0}^{\pi}-\frac{1}{n}\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx.
O termo de fronteira é zero porque \sin(n\pi)=0. A integral \int_{0}^{\pi}\sin(nx)\,dx=\dfrac{1-(-1)^{n}}{n}. Logo
J=-\frac{1}{n}\cdot\frac{1-(-1)^{n}}{n}=-\frac{1-(-1)^{n}}{n^{2}}.
Voltando a I_2:
I_2=-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}+\frac{2}{n}\left(-\frac{1-(-1)^{n}}{n^{2}}\right) =-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}-\frac{2\big(1-(-1)^{n}\big)}{n^{3}}.
Agora a integral que define a_n é
\int_{0}^{\pi}\big(\pi x-x^{2}\big)\sin(nx)\,dx=\pi I_1-I_2.
Substituindo I_1 e I_2:
\pi I_1=\pi\left(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\right)=-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n},
portanto
\pi I_1-I_2=-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}-\left(-\frac{\pi^{2}(-1)^{n}}{n}-\frac{2\big(1-(-1)^{n}\big)}{n^{3}}\right) =\frac{2\big(1-(-1)^{n}\big)}{n^{3}}.
Finalmente
a_n=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{2\big(1-(-1)^{n}\big)}{n^{3}}=\frac{4\big(1-(-1)^{n}\big)}{\pi n^{3}}.
Observe que 1-(-1)^{n}=0 se n é par e =2 se n é ímpar. Assim
a_n=\begin{cases} 0, & n\\ \text{par},\\[4pt] \dfrac{8}{\pi n^{3}}, & n\\ \text{ímpar}. \end{cases}í]

Passo 5

Escrevendo a solução com os coeficientes encontrados. A série tem apenas termos ímpares; podemos escrever com índice n=2m+1 ( m=0,1,2,\dots). Assim a solução é
u(x,y)=\sum_{\substack{n=1\\\ n\\ \text{ímpar}}}^{\infty}\frac{8}{\pi n^{3}}\sin(nx)\,e^{-n y} =\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8}{\pi(2m+1)^{3}}\sin\big((2m+1)x\big)\,e^{-(2m+1)y}.í
Verificações rápidas (rápido e útil para a prova): quando y=0 a série dá exatamente \pi x-x^{2} por construção; quando y\to\infty cada termo tem fator e^{-n y} que tende a zero, logo \lim_{y\to\infty}u(x,y)=0. A série converge bem porque os coeficientes decaem como 1/n^{3}.

Resposta

u(x,y)=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{8}{\pi(2m+1)^{3}}\sin\big((2m+1)x\big)\,e^{-(2m+1)y}.

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