Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
Equação diferencial parcial: u_{x x}+u_{y y}=0, válida para y>0 e 0<x<\pi.
Condições de contorno em x: u(0,y)=0,\qquad u(\pi,y)=0,\qquad y>0.
Condição na linha y=0: u(x,0)=\pi x-x^{2},\qquad 0\le x\le\pi.
Condição no infinito: \displaystyle \lim_{y\to\infty} u(x,y)=0.
O que o problema pede: encontrar u(x,y) que satisfaz a equação de Laplace no semiplano superior estreito 0<x<\pi,\;y>0, com as condições de contorno dadas e a condição de decaimento quando y\to\infty.
Passo 2
Escolha do método e ideia principal (sem resolver ainda): como as condições em x=0 e x=\pi são homogêneas (u=0), é natural expandir a condição em y=0 numa série de senos (séries de Fourier tipo seno) e procurar uma solução por separação de variáveis com modos \sin(nx) que satisfaçam as condições em x. Vou explicar por que.
Passo técnico da separação (resumo didático): suponha uma solução separável da forma u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo em u_{xx}+u_{yy}=0 temos
\frac{X''(x)}{X(x)} + \frac{Y''(y)}{Y(y)}=0.
Isto implica que cada fração é igual a uma constante -\lambda. Para as condições X(0)=X(\pi)=0 os autovalores \lambda admissíveis são \lambda=n^{2} com n=1,2,\dots, e as funções próprias são X_n(x)=\sin(nx). Para Y(y) obtemos Y_n''-n^{2}Y_n=0, com soluções Y_n(y)=A_n e^{ny}+B_n e^{-ny}. A condição \lim_{y\to\infty}u(x,y)=0 força A_n=0 (o termo e^{ny} cresce), então os modos em y são múltiplos de e^{-ny}.
Porque as funções \{\sin(nx)\}_{n\ge1} são ortogonais em [0,\pi] com \displaystyle\int_{0}^{\pi}\sin(nx)\sin(mx)\,dx=\frac{\pi}{2}\delta_{nm}, os coeficientes vêm da fórmula
Escrevendo a solução com os coeficientes encontrados. A série tem apenas termos ímpares; podemos escrever com índice n=2m+1 (m=0,1,2,\dots). Assim a solução é
Verificações rápidas (rápido e útil para a prova): quando y=0 a série dá exatamente \pi x-x^{2} por construção; quando y\to\infty cada termo tem fator e^{-n y} que tende a zero, logo \lim_{y\to\infty}u(x,y)=0. A série converge bem porque os coeficientes decaem como 1/n^{3}.