Pr: Rosoluer os P.V.I.:
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
O que é pedido: encontrar a solução
para todo
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A força externa é um impulso de Dirac localizado em
, isto é . - As condições iniciais são nulas:
e . - O P.V.I. é de segunda ordem linear com coeficientes constantes e uma fonte singular (o delta).
Passo 2
Método escolhido: transformada de Laplace — é a ferramenta padrão para P.V.I. com condições iniciais e termos como
. Vou explicar as fórmulas que vou usar.
Definição da transformada de Laplace de uma função
:
onde
é a variável complexa da transformada.
Propriedades importantes que usaremos:
- Transformada de derivadas (para
com condições iniciais):
onde
.
- Transformada do impulso deslocado:
- Teorema do deslocamento no tempo (usado na inversa): se
então
onde
é a função degrau de Heaviside.
Explicação curta: traduzir a EDO para o espaço de
transforma derivadas em polinômios em
, virando uma equação algébrica para
, que depois invertemos para obter
.
Passo 3
Aplicar
em ambos os lados da equação. Primeiro escrevo a transformada de cada termo. Usando as fórmulas de derivadas e as condições iniciais
, obtemos:
Somando os termos da equação transformada:
Fatorando
:
portanto
Passo 4
Agora precisamos calcular a transformada inversa de
Uso o teorema do deslocamento no tempo: a presença do fator
indica que a solução será nula para
e, para
, será um deslocamento da inversa de
. Ou seja:
onde
.
Calculo
. Primeiro simplifico
:
Completo o quadrado no denominador:
Logo
Recordando a transformada inversa padrão:
com
e
, obtemos
Simplificando o fator:
Passo 5
Aplicando o deslocamento temporal para recuperar
:
Portanto a solução do P.V.I. é
Verificação rápida (intuitiva) de consistência: antes do impulso,
, tem-se
(pois não houve excitação). Integrando a equação em torno de
para tratar o salto causado por
, obtém-se
como
segue
. A derivada imediata à direita da solução encontrada é
o que confirma a consistência.