Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
f(x)=1+3 x^{2}-x^{3}

Passo 1

Enunciado e o que é pedido. A função fornecida é f(x)=1+3x^{2}-x^{3}. O pedido é “esboce o gráfico” — ou seja, desenhar a curva dá razão por seus traços principais: onde cresce/decresce, máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, concavidade, interceptos com os eixos e comportamento para x\to\pm\infty.
Informações que vamos precisar obter (tudo isso vem do enunciado ou é consequência direta):
  • A expressão de f(x).
  • Domínio: todos os reais (não há restrição algébrica).
  • Precisamos achar: derivada primeira f'(x) (para monotonicidade e extremos), derivada segunda f''(x) (para concavidade e inflexão), interceptos com os eixos, limites nas infinitudes e pontos críticos com seus valores f(x).

Passo 2

Calcular a derivada primeira f'(x). Explicando passo a passo a regra usada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
f(x)=1+3x^{2}-x^{3}
f'(x)=0 + 3\cdot 2 x^{1} - 3 x^{2} = 6x - 3x^{2}.
Fatorando para facilitar a análise de sinais:
f'(x)=3x(2-x).
Isto mostra claramente onde f'(x)=0 e o sinal em intervalos.

Passo 3

Encontrar pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' indefinida). Aqui f' é definida em todo \mathbb{R}, então só resolvemos f'(x)=0:
3x(2-x)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad x=2.
Esses são candidatos a extremos locais. Para decidir se são mínimo ou máximo usamos o teste do sinal de f' (primeira derivada).

Passo 4

Estudar o sinal de f'(x) e monotonicidade. Faz-se uma tabela de sinais usando os pontos críticos 0 e 2. Escolhemos um ponto em cada intervalo e calculamos f'.
  • Para x<0, por exemplo x=-1:
f'(-1)=3(-1)(2-(-1))= -3\cdot 3 = -9 <0.
Logo f é decrescente em (-\infty,0).
  • Para 0<x<2, por exemplo x=1:
f'(1)=3\cdot1\cdot(2-1)=3>0.
Logo f é crescente em (0,2).
  • Para x>2, por exemplo x=3:
f'(3)=3\cdot3\cdot(2-3)=9\cdot(-1)=-9<0.
Logo f é decrescente em (2,\infty).
Interpretação dos sinais (primeira-derivada teste):
  • Em x=0 a derivada passa de negativa para positiva (decrescente \to crescente): x=0 é um mínimo local.
  • Em x=2 a derivada passa de positiva para negativa (crescente \to decrescente): x=2 é um máximo local.

Passo 5

Calcular os valores da função nesses pontos críticos (preciso para marcar no esboço).
f(0)=1+3\cdot0^{2}-0^{3}=1.
f(2)=1+3\cdot2^{2}-2^{3}=1+3\cdot4-8=1+12-8=5.
Portanto os pontos são: mínimo local em (0,1) e máximo local em (2,5).

Passo 6

Derivada segunda f''(x) — para concavidade e pontos de inflexão. Regras: derivar f'(x).
f'(x)=6x-3x^{2}
f''(x)=6-6x=6(1-x).
Resolver f''(x)=0 para potencial ponto de inflexão:
6(1-x)=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.
Sinal de f'':
  • Para x<1, 1-x>0\Rightarrow f''(x)>0: curva côncava para cima.
  • Para x>1, 1-x<0\Rightarrow f''(x)<0: curva côncava para baixo.
Logo x=1 é ponto de inflexão. Calcular f(1):
f(1)=1+3\cdot1^{2}-1^{3}=1+3-1=3.
Ponto de inflexão em (1,3).

Passo 7

Interceptos com os eixos.
  • Intercepto com o eixo y: \,f(0)=1. Então passa por (0,1) (já sabíamos que esse é um mínimo local e também o intercepto com y).
  • Interceptos com o eixo x: resolver f(x)=0, ou seja
1+3x^{2}-x^{3}=0 \quad\Leftrightarrow\quad x^{3}-3x^{2}-1=0.
Não há raízes racionais óbvias (teste x=\pm1 falha), então procuramos a raiz real por aproximação. Observações numéricas:
f(3)=1+3\cdot9-27=1+27-27=1>0,
f(4)=1+3\cdot16-64=1+48-64=-15<0.
Pelo Teorema do Valor Intermediário existe uma raiz em (3,4). Uma aproximação por Newton (ou bisseção) fornece:
  • Avaliação rápida: f(3,1)\approx0{,}039, f(3{,}105)\approx -0{,}015. Portanto a raiz real está aproximadamente em x\approx 3{,}103.
    Conclusão: há exatamente uma raiz real x\approx 3{,}103 (logo um único intercepto x-real), porque a curva tem máximo e mínimo locais positivos, o que evita cruzamentos adicionais com o eixo x.

Passo 8

Comportamento nas infinitudes (limites) — isto ajuda a desenhar as “caudas” do gráfico. Observando o termo dominante -x^{3}:
\lim_{x\to\infty} f(x) = -\infty,
\lim_{x\to -\infty} f(x) = \infty.
Explicação curta: para x muito positivo, -x^{3} domina e torna f(x) muito negativo; para x muito negativo, -x^{3} é positivo e grande, então f(x) vai a +\infty.

Passo 9

Resumo organizado dos traços importantes para esboçar (e como desenhar no tempo da prova — um passo a passo prático):
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Intercepto em y: (0,1).
  • Intercepto em x: aproximado (3{,}103,0).
  • Pontos críticos: mínimo local em (0,1), máximo local em (2,5).
  • Ponto de inflexão em (1,3). Antes de x=1 a curva é côncava para cima; depois de x=1 côncava para baixo.
  • Monotonicidade: decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,2), decrescente em (2,\infty).
  • Limites: f(x)\to+\infty quando x\to -\infty e f(x)\to -\infty quando x\to +\infty.
Como esboçar rápido: desenhe os três pontos-chave em ordem de x:
  • Para x\ll 0 a curva vem de cima (positivo grande) descendo;
  • chega em (0,1) (mínimo), sobe passando por (1,3) ponto de inflexão (a concavidade muda aí), continua sobe até (2,5) (máximo), e depois desce, cruzando o eixo x perto de 3{,}103 e indo para -\infty quando x\to\infty.
    Marque concavidade antes/depois de x=1 para dar a forma correta (antes mais “copo virado pra cima”, depois mais “copo virado pra baixo”).

Resposta

Monotonicidade: f é decrescente em (-\infty,0), crescente em (0,2), decrescente em (2,\infty).
Extremos: mínimo local em (0,1) e máximo local em (2,5).
Concavidade e inflexão: f''(x)=6(1-x), concava para cima em (-\infty,1), concava para baixo em (1,\infty); ponto de inflexão em (1,3).
Interceptos: y-intercepto em (0,1); único x-intercepto real aproximadamente (3{,}103,0).
Limites: \lim_{x\to -\infty} f(x)=\infty, \lim_{x\to\infty} f(x)=-\infty.

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