Utilizando os conceitos de derivada, esboce o gráfico das seguintes funções:
Passo 1
Enunciado e o que é pedido. A função fornecida é
. O pedido é “esboce o gráfico” — ou seja, desenhar a curva dá razão por seus traços principais: onde cresce/decresce, máximos e mínimos locais, pontos de inflexão, concavidade, interceptos com os eixos e comportamento para
.
Informações que vamos precisar obter (tudo isso vem do enunciado ou é consequência direta):
- A expressão de
. - Domínio: todos os reais (não há restrição algébrica).
- Precisamos achar: derivada primeira
(para monotonicidade e extremos), derivada segunda (para concavidade e inflexão), interceptos com os eixos, limites nas infinitudes e pontos críticos com seus valores .
Passo 2
Calcular a derivada primeira
. Explicando passo a passo a regra usada: a derivada de uma soma é a soma das derivadas; a derivada de
é
.
Fatorando para facilitar a análise de sinais:
Isto mostra claramente onde
e o sinal em intervalos.
Passo 3
Encontrar pontos críticos (onde
ou
indefinida). Aqui
é definida em todo
, então só resolvemos
:
Esses são candidatos a extremos locais. Para decidir se são mínimo ou máximo usamos o teste do sinal de
(primeira derivada).
Passo 4
Estudar o sinal de
e monotonicidade. Faz-se uma tabela de sinais usando os pontos críticos
e
. Escolhemos um ponto em cada intervalo e calculamos
.
- Para
, por exemplo :
Logo
é decrescente em
.
- Para
, por exemplo :
Logo
é crescente em
.
- Para
, por exemplo :
Logo
é decrescente em
.
Interpretação dos sinais (primeira-derivada teste):
- Em
a derivada passa de negativa para positiva (decrescente crescente): é um mínimo local. - Em
a derivada passa de positiva para negativa (crescente decrescente): é um máximo local.
Passo 5
Calcular os valores da função nesses pontos críticos (preciso para marcar no esboço).
Portanto os pontos são: mínimo local em
e máximo local em
.
Passo 6
Derivada segunda
— para concavidade e pontos de inflexão. Regras: derivar
.
Resolver
para potencial ponto de inflexão:
Sinal de
:
- Para
, : curva côncava para cima. - Para
, : curva côncava para baixo.
Logo
é ponto de inflexão. Calcular
:
Ponto de inflexão em
.
Passo 7
Interceptos com os eixos.
- Intercepto com o eixo
: . Então passa por (já sabíamos que esse é um mínimo local e também o intercepto com ). - Interceptos com o eixo
: resolver , ou seja
Não há raízes racionais óbvias (teste
falha), então procuramos a raiz real por aproximação. Observações numéricas:
Pelo Teorema do Valor Intermediário existe uma raiz em
. Uma aproximação por Newton (ou bisseção) fornece:
- Avaliação rápida:
, . Portanto a raiz real está aproximadamente em .
Conclusão: há exatamente uma raiz real(logo um único intercepto -real), porque a curva tem máximo e mínimo locais positivos, o que evita cruzamentos adicionais com o eixo .
Passo 8
Comportamento nas infinitudes (limites) — isto ajuda a desenhar as “caudas” do gráfico. Observando o termo dominante
:
Explicação curta: para
muito positivo,
domina e torna
muito negativo; para
muito negativo,
é positivo e grande, então
vai a
.
Passo 9
Resumo organizado dos traços importantes para esboçar (e como desenhar no tempo da prova — um passo a passo prático):
- Domínio:
. - Intercepto em
: . - Intercepto em
: aproximado . - Pontos críticos: mínimo local em
, máximo local em . - Ponto de inflexão em
. Antes de a curva é côncava para cima; depois de côncava para baixo. - Monotonicidade: decrescente em
, crescente em , decrescente em . - Limites:
quando e quando .
Como esboçar rápido: desenhe os três pontos-chave em ordem de
:
- Para
a curva vem de cima (positivo grande) descendo; - chega em
(mínimo), sobe passando por ponto de inflexão (a concavidade muda aí), continua sobe até (máximo), e depois desce, cruzando o eixo perto de e indo para quando .
Marque concavidade antes/depois depara dar a forma correta (antes mais “copo virado pra cima”, depois mais “copo virado pra baixo”).
Resposta
Monotonicidade:
é decrescente em
, crescente em
, decrescente em
.
Extremos: mínimo local em e máximo local em
.
Concavidade e inflexão: , concava para cima em
, concava para baixo em
; ponto de inflexão em
.
Interceptos: -intercepto em
; único
-intercepto real aproximadamente
.
Limites: ,
.
Extremos: mínimo local em
Concavidade e inflexão:
Interceptos:
Limites: