\star 4. Determine o volume da região limitada por z=x y e sua projeção no plano x y é a região limitada por y=x^{2} e x=y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região sob a superfície \,z = x\,y cuja projeção no plano xy é limitada pelas curvas \,y = x^{2} e \,x = y^{2}. Vamos usar integração dupla para calcular
V = \iint_{R} x\,y \,dA
onde R é a região em que essas duas curvas se intersectam.

Passo 2

Para descrever R, achamos as interseções de
y = x^{2},\quad x = y^{2}.
Substituindo y = x^{2} em x = y^{2} x = (x^{2})^{2} = x^{4}, logo x=0 ou x=1. Em x\in[0,1], tem-se também y\ge0 e da curva lateral y = \sqrt{x}. Assim
0 \le x \le 1,\quad x^{2} \le y \le \sqrt{x}.

Passo 3

Montamos a integral de volume em ordem dy\,dx:
V = \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}} x\,y \;dy\;dx.

Passo 4

Calculamos primeiro a integral em y:
\int_{y=x^{2}}^{\sqrt{x}} x\,y \;dy = x\;\biggl[\tfrac{y^{2}}{2}\biggr]_{y=x^{2}}^{y=\sqrt{x}} = \frac{x}{2}\bigl(x - x^{4}\bigr) = \frac{x^{2} - x^{5}}{2}.

Passo 5

Agora integramos em x:
V = \int_{0}^{1} \frac{x^{2} - x^{5}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\Bigl[\tfrac{x^{3}}{3} - \tfrac{x^{6}}{6}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{6}\bigr) = \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{12}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{12}

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