A stationary water tank of diameter D is mounted on wheels and is placed on a nearly frictionless level surface. A smooth hole of diameter D_{o} near the bottom of the tank allows water to jet horizontally and rearward and the water jet force propels the system forward. The water in the tank is much heavier than the tank-and-wheel assembly, so only the mass of water remaining in the tank needs to be considered in this problem. Considering the decrease in the mass of water with time, develop relations for
the distance traveled by the system as a function of time.

Passo 1

Temos um tanque cilíndrico de diâmetro D cheio de água até altura inicial h_{0}, apoiado sobre rodas em superfície quase sem atrito. Perfuramos um orifício liso de diâmetro D_{o} na parte inferior, de onde a água jorra horizontalmente para trás e impulsiona o conjunto para frente. Como a massa da água é muito maior que a do tanque, consideramos apenas a massa da água, m(t), que decresce com o tempo. O conteúdo principal é dinâmica de sistema de massa variável (equação de foguete) combinado com Torricelli para o escoamento pela abertura.

Passo 2

Definimos as áreas
A = \frac{\pi D^{2}}{4}, \quad A_{o} = \frac{\pi D_{o}^{2}}{4},
a massa da água
m(t)=\rho A\,h(t),
e a velocidade relativa do jato (Torricelli)
v_{\rm rel}(t)=\sqrt{2\,g\,h(t)}.
O fluxo de massa que sai é
\frac{dm}{dt}=-\rho\,A_{o}\,v_{\rm rel}(t) =-\rho\,A_{o}\,\sqrt{2\,g\,h(t)}.

Passo 3

Como m=\rho A\,h, temos \tfrac{dm}{dt}=\rho A\,\tfrac{dh}{dt}. Logo
\rho A\,\frac{dh}{dt} =-\rho A_{o}\,\sqrt{2\,g\,h} \;\Longrightarrow\; \frac{dh}{dt} =-\frac{A_{o}}{A}\,\sqrt{2\,g\,h}.
Separamos e integramos:
\int_{h_{0}}^{h(t)}\!h^{-1/2}dh =-\frac{A_{o}}{A}\,\sqrt{2g}\int_{0}^{t}\!dt \;\Longrightarrow\; 2\sqrt{h(t)}=2\sqrt{h_{0}}-\frac{A_{o}}{A}\,\sqrt{2g}\;t.
Assim
h(t)=\Bigl(\sqrt{h_{0}} -\tfrac{A_{o}}{2A}\sqrt{2g}\;t\Bigr)^{2},
até a água se esgotar.

Passo 4

O impulso (força de reação) vale
F = v_{\rm rel}(t)\,\bigl|\tfrac{dm}{dt}\bigr| =\sqrt{2g\,h}\;\bigl(\rho A_{o}\sqrt{2g\,h}\bigr) =\rho\,A_{o}\,2g\,h.
Pelo princípio da quantidade de movimento de massa variável,
m(t)\,\frac{dv}{dt}=F \;\Longrightarrow\; \frac{dv}{dt} =\frac{\rho\,A_{o}\,2g\,h}{\rho\,A\,h} =2g\,\frac{A_{o}}{A},
ou seja, a aceleração é constante
a = 2g\,\frac{A_{o}}{A}.

Passo 5

Integrando para a velocidade do tanque, com v(0)=0:
v(t)=a\,t =2g\,\frac{A_{o}}{A}\;t.
E a posição, com x(0)=0:
x(t)=\int_{0}^{t}v(\tau)\,d\tau =\frac12\,a\,t^{2} =g\,\frac{A_{o}}{A}\;t^{2}.

Resposta

Substituindo A_{o}/A=D_{o}^{2}/D^{2}, para 0\le t\le t_{\rm esg} (tempo em que h(t) chega a zero), temos
v(t)=2g\,\frac{D_{o}^{2}}{D^{2}}\;t, \qquad x(t)=g\,\frac{D_{o}^{2}}{D^{2}}\;t^{2}.
O esvaziamento ocorre em
t_{\rm esg} =\frac{2A}{A_{o}\sqrt{2g}}\;\sqrt{h_{0}} =\frac{D^{2}}{D_{o}^{2}}\;\sqrt{\frac{2\,h_{0}}{g}}.

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