6-72 Water accelerated by a nozzle enters the impeller of a turbine through its outer edge of diameter D with a velocity of V making an angle \alpha with the radial direction at a mass flow rate of \dot{m}. Water leaves the impeller in the radial direction. If the angular speed of the turbine shaft is \dot{n}, show that the maximum power that can be generated by this radial turbine is W_{\text {shaft }}=\pi \dot{n} \dot{m} D V \sin \alpha.

Passo 1

O enunciado descreve um fluxo de água que entra na periferia de um rotor de diâmetro D com velocidade V formando um ângulo \alpha em relação à direção radial e sai radialmente. A vazão mássica é \dot{m} e a velocidade angular do eixo é \dot{n}. Queremos achar a potência máxima extraída pelo rotor, ou seja, a potência do eixo W_{\text{shaft}}.

Passo 2

Para turbomáquinas em regime permanente, a potência extraída do fluido pelo rotor é dada pela forma de Euler:
W_{\text{shaft}} = \dot{m}\,\bigl(u\,c_{\theta1} - u\,c_{\theta2}\bigr),
onde u é a velocidade periférica do rotor, c_{\theta1} é a componente tangencial da velocidade absoluta de entrada, e c_{\theta2} é a componente tangencial de saída.

Passo 3

Como o fluido sai radialmente, sua componente tangencial de saída é nula:
c_{\theta2} = 0.
Na entrada, a componente tangencial de V é
c_{\theta1} = V\sin\alpha.
Logo,
W_{\text{shaft}} = \dot{m}\,u\,(V\sin\alpha).

Passo 4

A velocidade periférica u no diâmetro D corresponde a
u = \omega\,\frac{D}{2},
onde \omega é a velocidade angular em rad/s. Se \dot{n} é dada em rotações por segundo (rev/s), então \omega = 2\pi\,\dot{n}. Logo,
u = 2\pi\,\dot{n}\,\frac{D}{2} = \pi\,D\,\dot{n}.

Passo 5

Substituindo u em W_{\text{shaft}} = \dot{m}\,u\,(V\sin\alpha), obtemos
W_{\text{shaft}} = \dot{m}\,\bigl(\pi\,D\,\dot{n}\bigr)\,(V\sin\alpha) = \pi\,\dot{n}\,\dot{m}\,D\,V\,\sin\alpha.

Resposta

W_{\text{shaft}} = \pi\,\dot{n}\,\dot{m}\,D\,V\,\sin\alpha.

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