[STR _x_17]
A frequência correspondente à transição de um elétron de um nível E_{2} para o E_{1} é 24,659 \times 10 \mathrm{~s}^{-1} e de um nível E_{3} para E_{1} é de 29,226 \times 10 \mathrm{~s}^{-1} em um átomo de hidrogênio. Qual seria a energia correspondente à transição de um nível E_{3} para E_{2} ? Qual dessas três transições poderia ser visualizada pelo olho humano?

Passo 1

O enunciado dá as frequências das transições em átomo de hidrogênio:
\displaystyle f_{2\to1}=2{,}4659\times10^{15}\,\mathrm{s}^{-1} e
\displaystyle f_{3\to1}=2{,}9226\times10^{15}\,\mathrm{s}^{-1}.
Pede a energia da transição 3\to2 e identificar qual delas está no espectro visível. Para isso usaremos que a frequência da transição 3\to2 é a diferença de frequências e que a energia de um fóton é dada por
E = h\,f
com h=6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}.

Passo 2

Calculamos a frequência da transição 3\to2 como
f_{3\to2}=f_{3\to1}-f_{2\to1} = \bigl(2{,}9226-2{,}4659\bigr)\times10^{15}\,\mathrm{s}^{-1} =0{,}4567\times10^{15}\,\mathrm{s}^{-1} =4{,}567\times10^{14}\,\mathrm{s}^{-1}.

Passo 3

Agora a energia do fóton emitido em 3\to2 é
E_{3\to2} = h\,f_{3\to2} =6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s}\times4{,}567\times10^{14}\,\mathrm{s}^{-1} \approx3{,}03\times10^{-19}\,\mathrm{J}.
Em elétron-volt:
E_{3\to2} \approx\frac{3{,}03\times10^{-19}\,\mathrm{J}}{1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J/eV}} \approx1{,}89\,\mathrm{eV}.

Passo 4

Para saber quais transições são visíveis, calculamos o comprimento de onda de cada uma por
\lambda=\frac{c}{f},\quad c=3{,}00\times10^8\,\mathrm{m/s}.
  • Para 2\to1: \lambda_{2\to1}\approx122\,\mathrm{nm} (ultravioleta).
  • Para 3\to1: \lambda_{3\to1}\approx103\,\mathrm{nm} (ultravioleta).
  • Para 3\to2:
\lambda_{3\to2} =\frac{3{,}00\times10^8}{4{,}567\times10^{14}} \approx6{,}56\times10^{-7}\,\mathrm{m}=656\,\mathrm{nm},
que está no vermelho visível (entre 400 nm e 700 nm).

Resposta

A energia da transição 3\to2 é aproximadamente
E_{3\to2}\approx3{,}03\times10^{-19}\,\mathrm{J} \quad(\approx1{,}89\,\mathrm{eV}).
Das três transições, só a 3\to2 ( \lambda\approx656\,\mathrm{nm}) está no espectro visível.

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